Estudio de una función racional e integral indefinida

**a.1) (1 punto) Determine las asíntotas de la función $f(x)$.** Primero, determinamos el dominio de la función. Al ser una función racional, el dominio son todos los números reales excepto aquellos que anulan el denominador: $$x - 1 = 0 \implies x = 1$$ Por tanto, $\text{Dom}(f) = \mathbb{R} \setminus \{1\}$. Para comprobar si hay una **asíntota vertical** en $x = 1$, calculamos el límite: $$\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 3x + 3}{x - 1} = \frac{1^2 - 3(1) + 3}{0} = \frac{1}{0} = \pm\infty$$ 💡 **Tip:** Cuando el límite en un punto que no pertenece al dominio es infinito, existe una asíntota vertical en dicho punto. ✅ **Resultado (A.V.):** $$\boxed{x = 1}$$

Estudiamos la existencia de asíntotas horizontales calculando el límite en el infinito: $$\lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^2 - 3x + 3}{x - 1} = \pm\infty$$ Como el límite es infinito, **no hay asíntotas horizontales**. Buscamos ahora la **asíntota oblicua** $y = mx + n$, ya que el grado del numerador es exactamente uno más que el del denominador: 1. Calculamos la pendiente $m$: $$m = \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2 - 3x + 3}{x^2 - x} = 1$$ 2. Calculamos la ordenada en el origen $n$: $$n = \lim_{x \to \infty} (f(x) - mx) = \lim_{x \to \infty} \left( \frac{x^2 - 3x + 3}{x - 1} - x \right)$$ $$n = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2 - 3x + 3 - x(x - 1)}{x - 1} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2 - 3x + 3 - x^2 + x}{x - 1} = \lim_{x \to \infty} \frac{-2x + 3}{x - 1} = -2$$ ✅ **Resultado (A.O.):** $$\boxed{y = x - 2}$$

**a.2) (1,5 puntos) Determine los intervalos de crecimiento y de decrecimiento y los mínimos y máximos relativos de la función $f(x)$.** Para estudiar la monotonía, calculamos la primera derivada $f'(x)$ usando la regla del cociente: $$f'(x) = \frac{(2x - 3)(x - 1) - (x^2 - 3x + 3)(1)}{(x - 1)^2}$$ $$f'(x) = \frac{2x^2 - 2x - 3x + 3 - x^2 + 3x - 3}{(x - 1)^2} = \frac{x^2 - 2x}{(x - 1)^2}$$ Buscamos los puntos críticos resolviendo $f'(x) = 0$: $$x^2 - 2x = 0 \implies x(x - 2) = 0$$ Obtenemos dos soluciones: $$x_1 = 0, \quad x_2 = 2$$ 💡 **Tip:** Los puntos donde la derivada es cero son candidatos a máximos o mínimos relativos. También debemos tener en cuenta los puntos donde la función no está definida ($x=1$).

Analizamos el signo de $f'(x)$ en los intervalos definidos por los puntos críticos y el punto de discontinuidad $x=1$. El denominador $(x-1)^2$ siempre es positivo en el dominio, por lo que el signo solo depende del numerador $x^2 - 2x$: $$\begin{array}{c|ccccccc} x & (-\infty, 0) & 0 & (0, 1) & 1 & (1, 2) & 2 & (2, +\infty)\\ \hline f'(x) & + & 0 & - & \nexists & - & 0 & +\\ \hline \text{Monotonía} & \nearrow & \text{Máx} & \searrow & \nexists & \searrow & \text{Mín} & \nearrow \end{array}$$ ✅ **Intervalos de crecimiento:** $\boxed{(-\infty, 0) \cup (2, +\infty)}$ ✅ **Intervalos de decrecimiento:** $\boxed{(0, 1) \cup (1, 2)}$

Calculamos las coordenadas $y$ de los extremos relativos: Para $x = 0$: $$f(0) = \frac{0^2 - 3(0) + 3}{0 - 1} = -3 \implies \mathbf{Máximo\ relativo\ en\ (0, -3)}$$ Para $x = 2$: $$f(2) = \frac{2^2 - 3(2) + 3}{2 - 1} = \frac{4 - 6 + 3}{1} = 1 \implies \mathbf{Mínimo\ relativo\ en\ (2, 1)}$$ ✅ **Extremos:** $$\boxed{\text{Máximo: } (0, -3), \quad \text{Mínimo: } (2, 1)}$$

**b) (1,5 puntos) Calcule la siguiente integral: $\int \frac{9}{x^2 + x - 2} dx$** Es una integral de una función racional. Primero factorizamos el denominador: $$x^2 + x - 2 = 0 \implies x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{-1 \pm 3}{2} \implies x_1 = 1, x_2 = -2$$ Por tanto, $x^2 + x - 2 = (x - 1)(x + 2)$. Descomponemos en fracciones simples: $$\frac{9}{(x - 1)(x + 2)} = \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x + 2}$$ $$9 = A(x + 2) + B(x - 1)$$ Calculamos los coeficientes: - Si $x = 1: 9 = 3A \implies A = 3$ - Si $x = -2: 9 = -3B \implies B = -3$ 💡 **Tip:** Para encontrar los valores de A y B rápidamente, sustituimos $x$ por las raíces del denominador.

Sustituimos la descomposición en la integral: $$\int \frac{9}{x^2 + x - 2} dx = \int \left( \frac{3}{x - 1} - \frac{3}{x + 2} \right) dx$$ Integramos cada término por separado, sabiendo que $\int \frac{1}{x+a} dx = \ln|x+a|$: $$I = 3 \ln|x - 1| - 3 \ln|x + 2| + C$$ Podemos simplificar usando las propiedades de los logaritmos: $$I = 3 (\ln|x - 1| - \ln|x + 2|) + C = 3 \ln \left| \frac{x - 1}{x + 2} \right| + C$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{3 \ln \left| \frac{x - 1}{x + 2} \right| + C}$$