Volumen de un paralelepípedo y posición relativa de dos rectas

**a) (0,5 puntos) Dados los vectores $\vec{u} = (1, 2, 1)$, $\vec{v} = (2, 1, 1)$ y $\vec{w} = (0, 2, 1)$, determine el volumen del paralelepípedo que definen esos tres vectores.** El volumen de un paralelepípedo definido por tres vectores coincide con el valor absoluto de su producto mixto: $V = |[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}]|$. Primero, calculamos el producto mixto mediante el determinante de los tres vectores: $$[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}] = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \end{vmatrix}$$ Aplicando la regla de Sarrus: $$[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}] = (1 \cdot 1 \cdot 1) + (2 \cdot 1 \cdot 0) + (1 \cdot 2 \cdot 2) - (0 \cdot 1 \cdot 1) - (2 \cdot 2 \cdot 1) - (1 \cdot 2 \cdot 1)$$ $$[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}] = 1 + 0 + 4 - 0 - 4 - 2 = -1$$ El volumen es el valor absoluto del resultado: $$V = |-1| = 1 \text{ u}^3$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el producto mixto representa el volumen orientado. Si el resultado es negativo, simplemente tomamos su valor absoluto. ✅ **Resultado:** $$\boxed{V = 1 \text{ u}^3}$$

**b) (1 punto) Determine la posición relativa de las rectas $r$ y $s$ siguientes.** Para estudiar la posición relativa de dos rectas, necesitamos un punto y un vector director de cada una. De la ecuación continua de la recta $r$: $$r : \frac{x+1}{4} = \frac{y}{6} = \frac{z+2}{1}$$ Extraemos directamente: - Punto de $r$: $P_r(-1, 0, -2)$ - Vector director de $r$: $\vec{d_r} = (4, 6, 1)$

La recta $s$ viene dada por la intersección de dos planos. Obtenemos su vector director mediante el producto vectorial de los vectores normales a dichos planos: $$\vec{n_1} = (-1, 1, 2), \quad \vec{n_2} = (1, 2, 1)$$ $$\vec{d_s} = \vec{n_1} \times \vec{n_2} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -1 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \end{vmatrix}$$ Resolviendo por Sarrus: $$\vec{d_s} = (1 - 4)\vec{i} - (-1 - 2)\vec{j} + (-2 - 1)\vec{k} = -3\vec{i} + 3\vec{j} - 3\vec{k}$$ $$\vec{d_s} = (-3, 3, -3)$$ Para simplificar los cálculos, podemos usar un vector proporcional: $\vec{d_s} = (-1, 1, -1)$. Buscamos un punto $P_s$ asignando un valor a una variable, por ejemplo, $z=0$: $$\begin{cases} -x + y = 4 \\ x + 2y = 5 \end{cases}$$ Sumando ambas ecuaciones: $3y = 9 \implies y = 3$. Sustituyendo en la primera: $-x + 3 = 4 \implies x = -1$. Por tanto, $P_s(-1, 3, 0)$. 💡 **Tip:** El vector director de una recta dada por dos planos siempre es perpendicular a los vectores normales de ambos planos.

Comparamos los vectores directores $\vec{d_r} = (4, 6, 1)$ y $\vec{d_s} = (-1, 1, -1)$. No son proporcionales: $$\frac{4}{-1} \neq \frac{6}{1} \neq \frac{1}{-1}$$ Por tanto, las rectas no son paralelas ni coincidentes. Solo pueden **cortarse en un punto** o **cruzarse en el espacio**. Consideramos el vector que une un punto de cada recta: $$\vec{P_rP_s} = (-1 - (-1), 3 - 0, 0 - (-2)) = (0, 3, 2)$$ Analizamos el rango de la matriz formada por los tres vectores calculando su determinante: $$\det(\vec{d_r}, \vec{d_s}, \vec{P_rP_s}) = \begin{vmatrix} 4 & 6 & 1 \\ -1 & 1 & -1 \\ 0 & 3 & 2 \end{vmatrix}$$ Desarrollando: $$= 4(1 \cdot 2 - (-1) \cdot 3) - 6(-1 \cdot 2 - (-1) \cdot 0) + 1(-1 \cdot 3 - 1 \cdot 0)$$ $$= 4(2 + 3) - 6(-2) + 1(-3) = 20 + 12 - 3 = 29$$ Como el determinante es distinto de cero ($29 \neq 0$), los tres vectores son linealmente independientes. Esto implica que el rango de la matriz ampliada es 3. Conclusión: Las rectas **se cruzan** en el espacio. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Las rectas } r \text{ y } s \text{ se cruzan}}$$