Sistemas de ecuaciones y propiedades de los determinantes

**a) (1,5 puntos) Resuelva el sistema: $$\begin{pmatrix} 2 & 4 & 3 \\ 2 & 2 & 2 \\ 1 & 3 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$** El sistema es homogéneo, por lo que siempre es compatible (al menos tiene la solución trivial $x=y=z=0$). Para resolverlo, primero calculamos el determinante de la matriz de coeficientes $M$: $$|M| = \begin{vmatrix} 2 & 4 & 3 \\ 2 & 2 & 2 \\ 1 & 3 & 2 \end{vmatrix}$$ Aplicamos la regla de Sarrus: $$|M| = (2 \cdot 2 \cdot 2) + (4 \cdot 2 \cdot 1) + (3 \cdot 2 \cdot 3) - (1 \cdot 2 \cdot 3) - (3 \cdot 2 \cdot 2) - (2 \cdot 2 \cdot 4)$$ $$|M| = 8 + 8 + 18 - 6 - 12 - 16 = 34 - 34 = 0$$ 💡 **Tip:** Un sistema homogéneo tiene soluciones distintas de la trivial si y solo si el determinante de su matriz de coeficientes es igual a cero.

Como $|M| = 0$, el rango de $M$ es menor que $3$. Buscamos un menor de orden 2 distinto de cero para determinar el rango exacto: $$\begin{vmatrix} 2 & 2 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} = 6 - 2 = 4 \neq 0$$ Por lo tanto, $rg(M) = 2$. Según el **Teorema de Rouché-Frobenius**, al ser un sistema de 3 incógnitas y $rg(M) = 2 \lt 3$, estamos ante un **Sistema Compatible Indeterminado (S.C.I.)**, con $3 - 2 = 1$ grado de libertad (un parámetro).

Utilizamos las dos ecuaciones correspondientes al menor de orden 2 seleccionado (la segunda y la tercera) y pasamos una de las variables al otro miembro como parámetro. Sea $y = \lambda$: $$\begin{cases} 2x + 2y + 2z = 0 \\ x + 3y + 2z = 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x + y + z = 0 \quad (\text{simplificando por 2}) \\ x + 3y + 2z = 0 \end{cases}$$ Restamos la primera a la segunda para eliminar $x$: $$(x + 3y + 2z) - (x + y + z) = 0 \implies 2y + z = 0 \implies z = -2y$$ Como hemos fijado $y = \lambda$, entonces $z = -2\lambda$. Sustituimos en la primera ecuación: $$x + \lambda + (-2\lambda) = 0 \implies x - \lambda = 0 \implies x = \lambda$$ ✅ **Resultado del apartado a):** $$\boxed{\begin{cases} x = \lambda \\ y = \lambda \\ z = -2\lambda \end{cases} \quad \forall \lambda \in \mathbb{R}}$$

**b) (1,5 puntos) Sabiendo que el determinante de la matriz $A$ es 4, determine el determinante de la matriz $B$.** Sabemos que $|A| = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ a & b & c \\ x & y & z \end{vmatrix} = 4$. Una propiedad fundamental de los determinantes es que el determinante de una matriz es igual al de su traspuesta: $|A| = |A^t|$. $$|A^t| = \begin{vmatrix} 1 & a & x \\ 1 & b & y \\ 1 & c & z \end{vmatrix} = 4$$ Esta forma nos será muy útil para transformar el determinante de $B$, ya que las variables $a, b, c$ y $x, y, z$ en $|B|$ aparecen en columnas y no en filas.

Vamos a descomponer $|B|$ paso a paso: $$|B| = \begin{vmatrix} 2 & 3a+k & x+5 \\ 2 & 3b+k & y+5 \\ 2 & 3c+k & z+5 \end{vmatrix}$$ 1. Sacamos factor común $2$ de la primera columna ($C_1$): $$|B| = 2 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 3a+k & x+5 \\ 1 & 3b+k & y+5 \\ 1 & 3c+k & z+5 \end{vmatrix}$$ 2. Descomponemos por la suma en la segunda columna ($C_2$): $$|B| = 2 \cdot \left( \begin{vmatrix} 1 & 3a & x+5 \\ 1 & 3b & y+5 \\ 1 & 3c & z+5 \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} 1 & k & x+5 \\ 1 & k & y+5 \\ 1 & k & z+5 \end{vmatrix} \right)$$ 💡 **Tip:** El segundo determinante es $0$ porque la segunda columna es proporcional a la primera ($C_2 = k \cdot C_1$).

Continuamos simplificando el término restante: $$|B| = 2 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 3a & x+5 \\ 1 & 3b & y+5 \\ 1 & 3c & z+5 \end{vmatrix}$$ 3. Sacamos factor común $3$ de la segunda columna: $$|B| = 2 \cdot 3 \cdot \begin{vmatrix} 1 & a & x+5 \\ 1 & b & y+5 \\ 1 & c & z+5 \end{vmatrix}$$ 4. Descomponemos por la suma en la tercera columna ($C_3$): $$|B| = 6 \cdot \left( \begin{vmatrix} 1 & a & x \\ 1 & b & y \\ 1 & c & z \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} 1 & a & 5 \\ 1 & b & 5 \\ 1 & c & 5 \end{vmatrix} \right)$$ Como antes, el segundo determinante es $0$ porque $C_3$ es proporcional a $C_1$ ($C_3 = 5 \cdot C_1$). Por tanto: $$|B| = 6 \cdot \begin{vmatrix} 1 & a & x \\ 1 & b & y \\ 1 & c & z \end{vmatrix} = 6 \cdot |A^t| = 6 \cdot 4 = 24$$ ✅ **Resultado del apartado b):** $$\boxed{|B| = 24}$$