Recta perpendicular común y distancia entre rectas

**a) [1,75 puntos] Determina la ecuación de la recta que corta perpendicularmente a $r$ y a $s$.** En primer lugar, identificamos un punto y el vector director de cada recta. Para la recta $r$ (ya en paramétricas): Un punto es $P_r(0, 1, 0)$ y su vector director es $\vec{v}_r = (2, 0, 0)$. Podemos simplificar el vector director a $\vec{u}_r = (1, 0, 0)$. Para la recta $s$ (en forma implícita), obtenemos sus ecuaciones paramétricas haciendo $y = \lambda$: $$x + \lambda = 2 \implies x = 2 - \lambda$$ $$z = 2$$ Así, $s \equiv \begin{cases} x = 2 - \lambda \\ y = \lambda \\ z = 2 \end{cases}$. Un punto es $P_s(2, 0, 2)$ y su vector director es $\vec{v}_s = (-1, 1, 0)$. 💡 **Tip:** Para pasar de implícitas a paramétricas, basta con asignar un parámetro a una de las variables (siempre que el sistema sea compatible indeterminado).

La recta que corta perpendicularmente a $r$ y $s$ tendrá como vector director $\vec{v}_t$, el cual debe ser perpendicular a $\vec{v}_r$ y a $\vec{v}_s$ simultáneamente. Calculamos este vector mediante el producto vectorial: $$\vec{v}_t = \vec{v}_r \times \vec{v}_s = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 \end{vmatrix}$$ Desarrollamos por Sarrus: $$\vec{v}_t = (0\cdot 0 - 0\cdot 1)\vec{i} - (2\cdot 0 - 0\cdot(-1))\vec{j} + (2\cdot 1 - 0\cdot(-1))\vec{k} = 0\vec{i} + 0\vec{j} + 2\vec{k}$$ $$\vec{v}_t = (0, 0, 2)$$ Para trabajar con valores más sencillos, tomamos como vector director $\vec{u}_t = (0, 0, 1)$. $$\boxed{\vec{u}_t = (0, 0, 1)}$$

Buscamos un punto genérico $A$ en $r$ y un punto genérico $B$ en $s$ tales que el vector $\vec{AB}$ sea paralelo a $\vec{u}_t$. - Punto genérico de $r$: $A(2t, 1, 0)$ - Punto genérico de $s$: $B(2-\lambda, \lambda, 2)$ El vector $\vec{AB}$ es: $$\vec{AB} = B - A = (2-\lambda-2t, \lambda-1, 2)$$ Como $\vec{AB}$ debe ser perpendicular a $r$ y a $s$, imponemos: 1) $\vec{AB} \cdot \vec{v}_r = 0 \implies (2-\lambda-2t, \lambda-1, 2) \cdot (2, 0, 0) = 0$ $$2(2 - \lambda - 2t) = 0 \implies 2 - \lambda - 2t = 0 \implies \lambda + 2t = 2$$ 2) $\vec{AB} \cdot \vec{v}_s = 0 \implies (2-\lambda-2t, \lambda-1, 2) \cdot (-1, 1, 0) = 0$ $$-(2 - \lambda - 2t) + (\lambda - 1) = 0 \implies -2 + \lambda + 2t + \lambda - 1 = 0 \implies 2\lambda + 2t = 3$$ 💡 **Tip:** Este método se llama de los "puntos genéricos" y es el más directo para hallar la recta perpendicular común.

Resolvemos el sistema de ecuaciones: $$\begin{cases} \lambda + 2t = 2 \\ 2\lambda + 2t = 3 \end{cases}$$ Restando la primera a la segunda: $$(2\lambda + 2t) - (\lambda + 2t) = 3 - 2 \implies \lambda = 1$$ Sustituimos $\lambda = 1$ en la primera ecuación: $$1 + 2t = 2 \implies 2t = 1 \implies t = 1/2$$ Calculamos los puntos exactos de contacto: - En $r$: $A(2(1/2), 1, 0) = A(1, 1, 0)$ - En $s$: $B(2-1, 1, 2) = B(1, 1, 2)$ El vector $\vec{AB} = (1-1, 1-1, 2-0) = (0, 0, 2)$, que efectivamente es paralelo a $(0, 0, 1)$. $$\boxed{A(1, 1, 0), \quad B(1, 1, 2)}$$

La recta buscada, llamémosla $t$, pasa por el punto $A(1, 1, 0)$ y tiene como vector director $\vec{u}_t = (0, 0, 1)$. Su ecuación paramétrica es: $$t \equiv \begin{cases} x = 1 \\ y = 1 \\ z = \mu \end{cases}$$ En forma de intersección de dos planos (continua o implícita): $$t \equiv \begin{cases} x = 1 \\ y = 1 \end{cases}$$ ✅ **Resultado final apartado a):** $$\boxed{t \equiv \begin{cases} x = 1 \\ y = 1 \end{cases}}$$

**b) [0,75 puntos] Calcula la distancia entre las rectas dadas.** La distancia entre dos rectas que se cruzan es la longitud del segmento de la perpendicular común que las une, es decir, la distancia entre los puntos $A$ y $B$ hallados en el apartado anterior. $$d(r, s) = d(A, B) = |\vec{AB}| = \sqrt{(1-1)^2 + (1-1)^2 + (2-0)^2}$$ $$d(r, s) = \sqrt{0^2 + 0^2 + 2^2} = \sqrt{4} = 2$$ 💡 **Tip:** También se podría haber calculado mediante la fórmula del volumen del paralelepípedo: $d(r,s) = \frac{|[\vec{P_rP_s}, \vec{v}_r, \vec{v}_s]|}{|\vec{v}_r \times \vec{v}_s|}$, pero teniendo los puntos $A$ y $B$ es mucho más rápido. ✅ **Resultado final apartado b):** $$\boxed{d(r, s) = 2 \text{ unidades}}$$