Discusión y resolución de un sistema de ecuaciones lineales

**a) [1,5 puntos] Discútelo según los valores del parámetro $m$.** En primer lugar, escribimos el sistema en forma matricial $A \cdot X = B$, identificando la matriz de coeficientes $A$ y la matriz ampliada $A^*$: $$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & m & 3 \\ 4 & 1 & -m \end{pmatrix}; \quad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & -1 & m \\ 0 & m & 3 & 1 \\ 4 & 1 & -m & 5 \end{array}\right)$$ Para discutir el sistema utilizaremos el **Teorema de Rouché-Capelli**, por lo que debemos calcular el determinante de la matriz $A$ para saber cuándo su rango es máximo.

Calculamos el determinante de $A$ utilizando la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & m & 3 \\ 4 & 1 & -m \end{vmatrix} = [1 \cdot m \cdot (-m) + 0 \cdot 3 \cdot 4 + (-1) \cdot 0 \cdot 1] - [(-1) \cdot m \cdot 4 + 3 \cdot 1 \cdot 1 + (-m) \cdot 0 \cdot 0]$$ $$|A| = (-m^2 + 0 + 0) - (-4m + 3 + 0) = -m^2 + 4m - 3$$ Igualamos el determinante a cero para encontrar los valores críticos de $m$: $$-m^2 + 4m - 3 = 0 \implies m = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4(-1)(-3)}}{2(-1)} = \frac{-4 \pm \sqrt{16 - 12}}{-2} = \frac{-4 \pm 2}{-2}$$ Obtenemos dos soluciones: - $m_1 = \frac{-4 + 2}{-2} = 1$ - $m_2 = \frac{-4 - 2}{-2} = 3$ 💡 **Tip:** Los valores que anulan el determinante son aquellos donde el rango de la matriz es menor que su dimensión máxima (3).

Si $m \neq 1$ y $m \neq 3$, entonces el determinante de $A$ es distinto de cero ($|A| \neq 0$). En este caso: - $\text{rango}(A) = 3$ - $\text{rango}(A^*) = 3$ (ya que no puede ser mayor que 3 y contiene a $A$) - El número de incógnitas es $n = 3$ Según el **Teorema de Rouché-Capelli**, al cumplirse $\text{rango}(A) = \text{rango}(A^*) = n$, el sistema es **Sistema Compatible Determinado (SCD)**, es decir, tiene una solución única.

Si $m = 1$, la matriz ampliada es: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 3 & 1 \\ 4 & 1 & -1 & 5 \end{array}\right)$$ Sabemos que $|A| = 0$, por lo que $\text{rango}(A) < 3$. Buscamos un menor de orden 2 no nulo en $A$: $$\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 1 \neq 0 \implies \text{rango}(A) = 2$$ Para calcular el $\text{rango}(A^*)$, orlamos ese menor con la columna de términos independientes: $$\begin{vmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 4 & 1 & 5 \end{vmatrix} = (5 + 0 + 0) - (4 + 1 + 0) = 5 - 5 = 0$$ Como todos los menores de orden 3 en $A^*$ son nulos (el de $A$ y el orlado), $\text{rango}(A^*) = 2$. Según el **Teorema de Rouché-Capelli**, como $\text{rango}(A) = \text{rango}(A^*) = 2 < 3$, el sistema es **Sistema Compatible Indeterminado (SCI)**, con infinitas soluciones.

Si $m = 3$, la matriz ampliada es: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & -1 & 3 \\ 0 & 3 & 3 & 1 \\ 4 & 1 & -3 & 5 \end{array}\right)$$ Igual que antes, $|A| = 0$, y el menor $\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 3 \end{vmatrix} = 3 \neq 0$, por lo que $\text{rango}(A) = 2$. Orlamos para hallar $\text{rango}(A^*)$: $$\begin{vmatrix} 1 & 0 & 3 \\ 0 & 3 & 1 \\ 4 & 1 & 5 \end{vmatrix} = (15 + 0 + 0) - (36 + 1 + 0) = 15 - 37 = -22 \neq 0$$ Como existe un menor de orden 3 no nulo en la ampliada, $\text{rango}(A^*) = 3$. Según el **Teorema de Rouché-Capelli**, como $\text{rango}(A) = 2 \neq \text{rango}(A^*) = 3$, el sistema es **Sistema Incompatible (SI)**, no tiene solución. ✅ **Resultado (Discusión):** $$\boxed{\begin{aligned} &m \neq 1, m \neq 3 \implies \text{SCD} \\ &m = 1 \implies \text{SCI} \\ &m = 3 \implies \text{SI} \end{aligned}}$$

**b) [1 punto] Para $m = 1$ resuelve el sistema y encuentra, si es posible, una solución para la que sea $x = z$.** Para $m=1$, el sistema es SCI y hemos visto que el rango es 2. Usamos las dos primeras ecuaciones (que son linealmente independientes) y pasamos $z$ al otro lado como parámetro $z = \lambda$: $$\left\{ \begin{aligned} x - z &= 1 \\ y + 3z &= 1 \end{aligned} \right. \implies \left\{ \begin{aligned} x &= 1 + \lambda \\ y &= 1 - 3\lambda \\ z &= \lambda \end{aligned} \right.$$ La solución general del sistema para $m=1$ es: $$\boxed{(x, y, z) = (1 + \lambda, 1 - 3\lambda, \lambda) \text{ con } \lambda \in \mathbb{R}}$$

Se nos pide encontrar una solución tal que $x = z$. Utilizamos las expresiones en función de $\lambda$ halladas anteriormente: $$x = z \implies 1 + \lambda = \lambda$$ Si restamos $\lambda$ en ambos lados de la igualdad, obtenemos: $$1 = 0$$ Como esta igualdad es una contradicción (imposible), **no existe ninguna solución** del sistema para $m = 1$ que cumpla la condición $x = z$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{No es posible encontrar una solución con } x = z}$$