Integral definida por cambio de variable

Para resolver la integral $\int_{0}^{\ln (2)} \frac{1}{1+e^{x}} dx$, utilizaremos la sugerencia del enunciado realizando el cambio de variable $t = e^x$. Primero, derivamos para hallar la relación entre los diferenciales: $$t = e^x \implies dt = e^x \, dx$$ Como queremos sustituir $dx$, lo despejamos aprovechando que $e^x = t$: $$dx = \frac{dt}{e^x} = \frac{dt}{t}$$ 💡 **Tip:** Cuando realices un cambio de variable en una integral definida, es fundamental transformar también el diferencial ($dx$) y los límites de integración para trabajar directamente en la nueva variable.

Al realizar un cambio de variable en una integral definida, debemos calcular los nuevos límites para la variable $t$ usando la relación $t = e^x$: - Para el límite inferior ($x = 0$): $$t = e^0 = 1$$ - Para el límite superior ($x = \ln(2)$): $$t = e^{\ln(2)} = 2$$ Sustituyendo el diferencial y los límites, la integral original se transforma en: $$\int_{1}^{2} \frac{1}{1+t} \cdot \frac{dt}{t} = \int_{1}^{2} \frac{1}{t(t+1)} \, dt$$ $$\boxed{\int_{1}^{2} \frac{1}{t(t+1)} \, dt}$$

La función racional $\frac{1}{t(t+1)}$ tiene raíces reales reales distintas en el denominador ($t=0$ y $t=-1$), por lo que aplicamos el método de descomposición en fracciones simples: $$\frac{1}{t(t+1)} = \frac{A}{t} + \frac{B}{t+1}$$ Multiplicando por el denominador común: $$1 = A(t+1) + Bt$$ Para hallar los coeficientes $A$ y $B$, damos valores a $t$: - Si $t = 0$: $1 = A(0+1) \implies \mathbf{A = 1}$ - Si $t = -1$: $1 = B(-1) \implies \mathbf{B = -1}$ Por lo tanto: $$\frac{1}{t(t+1)} = \frac{1}{t} - \frac{1}{t+1}$$ 💡 **Tip:** Este método permite transformar una fracción compleja en una suma de fracciones cuyas integrales son inmediatas (tipo logaritmo).

Calculamos la primitiva de la función descompuesta: $$\int \left( \frac{1}{t} - \frac{1}{t+1} \right) dt = \ln|t| - \ln|t+1|$$ Usando las propiedades de los logaritmos ($\ln a - \ln b = \ln(a/b)$), podemos escribirlo de forma más compacta: $$\ln \left| \frac{t}{t+1} \right|$$ $$\boxed{F(t) = \ln \left| \frac{t}{t+1} \right|}$$

Finalmente, evaluamos la primitiva en los límites de integración calculados anteriormente ($1$ y $2$): $$\int_{1}^{2} \frac{1}{t(t+1)} \, dt = \left[ \ln \left| \frac{t}{t+1} \right| \right]_{1}^{2}$$ Evaluamos paso a paso: $$= \ln \left( \frac{2}{2+1} \right) - \ln \left( \frac{1}{1+1} \right)$$ $$= \ln \left( \frac{2}{3} \right) - \ln \left( \frac{1}{2} \right)$$ Aplicamos de nuevo la propiedad de la resta de logaritmos: $$= \ln \left( \frac{2/3}{1/2} \right) = \ln \left( \frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 1} \right) = \ln \left( \frac{4}{3} \right)$$ 💡 **Tip:** La Regla de Barrow establece que $\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)$, donde $F(x)$ es cualquier primitiva de $f(x)$. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\ln \left( \frac{4}{3} \right)}$$