Recta tangente y estudio de asíntotas

**a) [1,25 puntos] Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de $f$ que es paralela a la recta $x - y + 1 = 0$.** Dos rectas son paralelas si tienen la misma pendiente. Primero, despejamos $y$ en la recta dada para encontrar su pendiente: $$x - y + 1 = 0 \implies y = x + 1$$ La pendiente de esta recta es $m = 1$. Buscamos el punto $x$ donde la pendiente de la recta tangente a $f(x)$, que coincide con el valor de la derivada $f'(x)$, sea igual a $1$. 💡 **Tip:** Recuerda que la pendiente de la recta tangente a una función en un punto $x=a$ es $f'(a)$.

Dada $f(x) = x + xe^{-x}$, derivamos utilizando la regla del producto para el segundo término: $$f'(x) = \frac{d}{dx}(x) + \frac{d}{dx}(xe^{-x})$$ $$f'(x) = 1 + \left( 1 \cdot e^{-x} + x \cdot (-e^{-x}) \right)$$ $$f'(x) = 1 + e^{-x} - xe^{-x} = 1 + (1 - x)e^{-x}$$ 💡 **Tip:** Para derivar un producto $u \cdot v$, usamos $(u \cdot v)' = u'v + uv'$. Aquí $u=x$ y $v=e^{-x}$.

Igualamos la derivada a la pendiente deseada ($m = 1$): $$1 + (1 - x)e^{-x} = 1$$ $$(1 - x)e^{-x} = 0$$ Como la función exponencial $e^{-x}$ nunca es cero para ningún valor de $x$ real, la única posibilidad es que: $$1 - x = 0 \implies x = 1$$ Ahora calculamos la ordenada del punto de tangencia sustituyendo $x=1$ en la función original: $$f(1) = 1 + 1 \cdot e^{-1} = 1 + \frac{1}{e}$$ El punto de tangencia es $P\left(1, 1 + \dfrac{1}{e}\right)$.

Usamos la ecuación punto-pendiente: $y - f(a) = f'(a)(x - a)$. $$y - \left( 1 + \frac{1}{e} \right) = 1 \cdot (x - 1)$$ $$y - 1 - \frac{1}{e} = x - 1$$ $$y = x + \frac{1}{e}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{y = x + \dfrac{1}{e}}$$

**b) [1,25 puntos] Estudia y determina las asíntotas de la gráfica de $f$.** La función $f(x) = x + xe^{-x}$ está definida para todo $x \in \mathbb{R}$, ya que es la suma de un polinomio y el producto de un polinomio por una exponencial, que son funciones continuas en todo su dominio. Por tanto, el dominio es $\mathbb{R}$ y **no existen asíntotas verticales**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{No hay asíntotas verticales}}$$

Calculamos los límites en el infinito: 1. **Cuando $x \to +\infty$:** $$\lim_{x \to +\infty} (x + xe^{-x}) = \lim_{x \to +\infty} \left( x + \frac{x}{e^x} \right)$$ Como $\lim_{x \to +\infty} \frac{x}{e^x} = 0$ (por órdenes de infinitud, la exponencial crece más rápido), el límite es: $$\lim_{x \to +\infty} (x + 0) = +\infty$$ 2. **Cuando $x \to -\infty$:** $$\lim_{x \to -\infty} (x + xe^{-x}) = -\infty + (-\infty)e^{+\infty} = -\infty - \infty = -\infty$$ Al no ser finitos los límites, **no hay asíntotas horizontales**. 💡 **Tip:** Existe asíntota horizontal $y=L$ si $\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = L$.

Buscamos una recta de la forma $y = mx + n$. **Rama $x \to +\infty$:** $$m = \lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x + xe^{-x}}{x} = \lim_{x \to +\infty} (1 + e^{-x}) = 1 + 0 = 1$$ $$n = \lim_{x \to +\infty} (f(x) - mx) = \lim_{x \to +\infty} (x + xe^{-x} - 1x) = \lim_{x \to +\infty} xe^{-x} = 0$$ Por tanto, hay una **asíntota oblicua en $y = x$** cuando $x \to +\infty$. **Rama $x \to -\infty$:** $$m = \lim_{x \to -\infty} \frac{x + xe^{-x}}{x} = \lim_{x \to -\infty} (1 + e^{-x}) = 1 + e^{+\infty} = +\infty$$ Al ser el límite infinito, no hay asíntota oblicua por la izquierda. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{A. Oblicua: } y = x \text{ (solo cuando } x \to +\infty\text{)}}$$