Simetría de puntos respecto a un plano y distancias

**a) [0,75 puntos] Calcula la distancia de $A$ a $\pi$.** Si dos puntos $A$ y $B$ son simétricos respecto a un plano $\pi$, dicho plano actúa como el **plano mediador** del segmento $AB$. Esto implica dos propiedades fundamentales: 1. El plano $\pi$ es perpendicular al segmento $AB$. 2. El plano $\pi$ pasa por el punto medio $M$ del segmento $AB$. Por tanto, la distancia de $A$ al plano $\pi$ es exactamente la mitad de la distancia entre los puntos $A$ y $B$: $$d(A, \pi) = \frac{1}{2} d(A, B)$$ 💡 **Tip:** Imagina el plano como un espejo. La distancia del objeto al espejo es la misma que la del espejo a la imagen. Por eso, la distancia total entre objeto e imagen es el doble de la distancia al plano.

Calculamos primero el vector $\vec{AB}$: $$\vec{AB} = B - A = (1 - (-1), 4 - 2, -2 - 6) = (2, 2, -8)$$ Ahora calculamos su módulo, que es la distancia entre los dos puntos: $$d(A, B) = |\vec{AB}| = \sqrt{2^2 + 2^2 + (-8)^2}$$ $$d(A, B) = \sqrt{4 + 4 + 64} = \sqrt{72}$$ Simplificamos el radical: $$\sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la distancia entre dos puntos $P_1(x_1, y_1, z_1)$ y $P_2(x_2, y_2, z_2)$ es $\sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}$.

Aplicamos la relación obtenida en el primer paso: $$d(A, \pi) = \frac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}$$ Si lo expresamos en valor decimal aproximado: $$d(A, \pi) \approx 4,24 \text{ unidades}$$ ✅ **Resultado (distancia):** $$\boxed{d(A, \pi) = 3\sqrt{2} \text{ u}}$$

**b) [1,75 puntos] Determina la ecuación general del plano $\pi$.** Como el plano $\pi$ es perpendicular al segmento $AB$, el vector $\vec{AB}$ (o cualquier vector proporcional a él) es un **vector normal** al plano, $\vec{n}_\pi$. Usamos el vector hallado anteriormente: $$\vec{AB} = (2, 2, -8)$$ Para simplificar los cálculos, podemos usar un vector proporcional más sencillo dividiendo por 2: $$\vec{n}_\pi = (1, 1, -4)$$ Por tanto, la ecuación del plano será de la forma: $$x + y - 4z + D = 0$$ 💡 **Tip:** Si un plano tiene ecuación $Ax + By + Cz + D = 0$, su vector normal es $\vec{n} = (A, B, C)$.

El plano $\pi$ pasa por el punto medio $M$ del segmento $AB$. Calculamos sus coordenadas: $$M = \frac{A + B}{2} = \left( \frac{-1 + 1}{2}, \frac{2 + 4}{2}, \frac{6 - 2}{2} \right)$$ $$M = (0, 3, 2)$$ Este punto debe satisfacer la ecuación del plano $\pi$. 💡 **Tip:** El punto medio de un segmento de extremos $A$ y $B$ es la semisuma de sus coordenadas.

Sustituimos las coordenadas de $M(0, 3, 2)$ en la ecuación $x + y - 4z + D = 0$ para hallar $D$: $$0 + 3 - 4(2) + D = 0$$ $$3 - 8 + D = 0$$ $$-5 + D = 0 \implies D = 5$$ La ecuación general del plano $\pi$ es: $$x + y - 4z + 5 = 0$$ ✅ **Resultado (ecuación del plano):** $$\boxed{x + y - 4z + 5 = 0}$$