Discusión y resolución de un sistema matricial con parámetros

**a) [1,5 puntos] Discute el sistema dado por $AX = mX$ según los valores del parámetro $m$.** Primero, reescribimos la ecuación matricial $AX = mX$ como un sistema homogéneo de la forma $(A - mI)X = 0$: $$AX - mX = 0 \implies (A - mI)X = 0$$ Sustituyendo las matrices: $$\left[ \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} m & 0 & 0 \\ 0 & m & 0 \\ 0 & 0 & m \end{pmatrix} \right] \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$ La matriz de coeficientes $M$ asociada al sistema es: $$M = A - mI = \begin{pmatrix} 2-m & 0 & 0 \\ 1 & 2-m & 1 \\ 1 & 0 & 3-m \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Un sistema de la forma $MX = 0$ siempre es compatible (admite al menos la solución trivial $x=y=z=0$). La discusión se centra en si la solución es única o si existen infinitas.

Para discutir el sistema según el Teorema de Rouché-Frobenius, calculamos el determinante de $M = A - mI$. Desarrollamos por la primera fila ya que contiene dos ceros: $$|M| = \begin{vmatrix} 2-m & 0 & 0 \\ 1 & 2-m & 1 \\ 1 & 0 & 3-m \end{vmatrix} = (2-m) \begin{vmatrix} 2-m & 1 \\ 0 & 3-m \end{vmatrix}$$ $$|M| = (2-m) [(2-m)(3-m) - 0] = (2-m)^2(3-m)$$ Igualamos el determinante a cero para hallar los valores críticos de $m$: $$(2-m)^2(3-m) = 0 \implies m = 2, \quad m = 3$$ 💡 **Tip:** Recuerda que si el determinante de la matriz de coeficientes de un sistema cuadrado es distinto de cero, el rango es máximo y el sistema es Compatible Determinado.

Aplicamos el **Teorema de Rouché-Frobenius** analizando los rangos de la matriz de coeficientes $M$ y la matriz ampliada $M^*$ (que en este caso es $M$ con una columna de ceros): **Caso 1: $m \neq 2$ y $m \neq 3$** Si $m \neq 2, 3$, entonces $|M| \neq 0$. Por tanto: $$rg(M) = rg(M^*) = 3 = \text{nº de incógnitas}$$ El sistema es **Compatible Determinado (SCD)**. Tiene una solución única (la trivial). **Caso 2: $m = 2$** Si $m = 2$, la matriz es $M = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$. El determinante es $0$. Buscamos un menor de orden 1 no nulo, por ejemplo el elemento $M_{2,1}=1$. Las filas 2 y 3 son iguales y la fila 1 es nula, por lo que: $$rg(M) = rg(M^*) = 1 \lt 3$$ El sistema es **Compatible Indeterminado (SCI)** con 2 grados de libertad. **Caso 3: $m = 3$** Si $m = 3$, la matriz es $M = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$. El determinante es $0$. Tomamos el menor $\begin{vmatrix} -1 & 0 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = 1 \neq 0$. $$rg(M) = rg(M^*) = 2 \lt 3$$ El sistema es **Compatible Indeterminado (SCI)** con 1 grado de libertad. ✅ **Resultado (Discusión):** $$\boxed{\begin{cases} m \neq 2, 3 \implies \text{SCD} \\ m = 2 \implies \text{SCI (rango 1)} \\ m = 3 \implies \text{SCI (rango 2)} \end{cases}}$$

**b) [0,5 puntos] Da la solución del sistema en los casos en que es compatible determinado.** Como hemos visto en el apartado anterior, el sistema es Compatible Determinado cuando $m \neq 2$ y $m \neq 3$. Al tratarse de un sistema homogéneo ($(A-mI)X = 0$), la única solución posible para un sistema determinado es la **solución trivial**. Por tanto, para $m \in \mathbb{R} \setminus \{2, 3\}$: $$x = 0, \quad y = 0, \quad z = 0$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{x=0, y=0, z=0}$$

**c) [0,5 puntos] Para $m = 3$ resuelve el sistema y halla, si es posible, una solución en la que $x + y + z = 3$.** Sustituimos $m = 3$ en el sistema original $(A-3I)X = 0$: $$\begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$ Esto genera las ecuaciones: 1) $-x = 0 \implies x = 0$ 2) $x - y + z = 0 \implies 0 - y + z = 0 \implies y = z$ 3) $x = 0$ (redundante) La solución general depende de un parámetro $\lambda$: $$\begin{cases} x = 0 \\ y = \lambda \\ z = \lambda \end{cases} \text{ con } \lambda \in \mathbb{R}$$

Ahora imponemos la condición adicional $x + y + z = 3$ sobre la solución general hallada: $$0 + \lambda + \lambda = 3$$ $$2\lambda = 3 \implies \lambda = \frac{3}{2}$$ Sustituimos el valor de $\lambda$ en la solución: $$x = 0, \quad y = \frac{3}{2}, \quad z = \frac{3}{2}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{(x, y, z) = \left(0, \frac{3}{2}, \frac{3}{2}\right)}$$