Área de recintos definidos por una función y un rectángulo

**a) [0,5 puntos] Haz un esbozo de la gráfica de $f$ y del rectángulo descrito.** El rectángulo tiene base en el eje $X$ desde $x=1$ hasta $x=a$ (con $a > 1$) y altura $1$ unidad (desde $y=0$ hasta $y=1$). Analizamos la función $f(x) = \frac{1}{x^2}$ en el intervalo $[1, a]$: - En $x=1$, $f(1) = \frac{1}{1^2} = 1$, que coincide con el vértice $B(1,1)$. - A medida que $x$ aumenta, $f(x)$ decrece de forma convexa hacia el eje $X$, ya que $f'(x) = -\frac{2}{x^3} < 0$ y $f''(x) = \frac{6}{x^4} > 0$ para $x > 0$. - Como $a > 1$, el valor $f(a) = \frac{1}{a^2}$ será menor que $1$, por lo que la curva corta el lado derecho del rectángulo (el segmento $CD$) en el punto $(a, \frac{1}{a^2})$. 💡 **Tip:** Para esbozar una función, ayuda identificar puntos clave (vértices del recinto) y observar si la función es creciente o decreciente. Aquí tienes una representación interactiva donde puedes variar el valor de $a$:

**b) [2 puntos] Determina el valor de $a$ para el que los dos recintos descritos tienen igual área.** Primero calculamos el área total del rectángulo. La base mide $(a - 1)$ y la altura es $1$: $$A_{\text{rectángulo}} = \text{base} \cdot \text{altura} = (a - 1) \cdot 1 = a - 1.$$ La curva $f(x) = \frac{1}{x^2}$ divide al rectángulo en dos recintos. Llamemos $A_1$ al área del recinto que queda por debajo de la curva (entre la función y el eje $X$) y $A_2$ al área por encima de la curva (dentro del rectángulo). Para que ambos recintos tengan igual área, se debe cumplir: $$A_1 = A_2 = \frac{1}{2} A_{\text{rectángulo}} = \frac{a - 1}{2}.$$ 💡 **Tip:** Es más sencillo calcular el área bajo la curva mediante una integral definida y compararla con la mitad del área total del rectángulo.

Calculamos $A_1$, que es el área bajo la función $f(x)$ desde $x=1$ hasta $x=a$: $$A_1 = \int_{1}^{a} \frac{1}{x^2} dx = \int_{1}^{a} x^{-2} dx.$$ Aplicamos la regla de la potencia para integrales: $$\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} \implies \int x^{-2} dx = \frac{x^{-1}}{-1} = -\frac{1}{x}.$$ Aplicamos la **Regla de Barrow**: $$A_1 = \left[ -\frac{1}{x} \right]_{1}^{a} = \left( -\frac{1}{a} \right) - \left( -\frac{1}{1} \right) = -\frac{1}{a} + 1 = 1 - \frac{1}{a}.$$ Operando la fracción: $$A_1 = \frac{a - 1}{a}.$$ ✅ **Área bajo la curva:** $$\boxed{A_1 = \frac{a - 1}{a}}$$

Igualamos el área $A_1$ a la mitad del área del rectángulo: $$\frac{a - 1}{a} = \frac{a - 1}{2}.$$ Como el enunciado nos dice que $a > 1$, sabemos que $a - 1 \neq 0$. Por lo tanto, podemos dividir ambos lados de la ecuación por $(a - 1)$: $$\frac{1}{a} = \frac{1}{2}.$$ Multiplicando en cruz o invirtiendo las fracciones, obtenemos: $$a = 2.$$ Este valor cumple con la condición $a > 1$. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{a = 2}$$