Optimización: Rectángulo de área máxima inscrito en un triángulo

Para resolver este problema de optimización, primero debemos representar la situación geométricamente y definir nuestras variables. Sea el triángulo isósceles de base $b = 8 \text{ cm}$ y altura $H = 5 \text{ cm}$. Inscribimos un rectángulo dentro de él. Definimos: - $x$: La base del rectángulo inscrito. - $y$: La altura del rectángulo inscrito. El área del rectángulo, que es la función que queremos maximizar, viene dada por: $$A = x \cdot y$$ Para visualizarlo mejor, podemos situar el triángulo en un sistema de ejes o usar semejanza de triángulos directamente. Si trazamos la altura del triángulo original, este se divide en dos triángulos rectángulos de base $4$ y altura $5$.

Necesitamos expresar el área en función de una sola variable. Para ello, buscamos una relación entre $x$ e $y$ usando la semejanza entre el triángulo grande y el triángulo pequeño que queda por encima del rectángulo. El triángulo superior pequeño tiene: - Base: $x$ - Altura: $5 - y$ Por el **Teorema de Tales** (semejanza de triángulos): $$\frac{\text{Base triángulo pequeño}}{\text{Base triángulo grande}} = \frac{\text{Altura triángulo pequeño}}{\text{Altura triángulo grande}}$$ $$\frac{x}{8} = \frac{5 - y}{5}$$ Despejamos $y$ en función de $x$: $$5x = 8(5 - y) \implies 5x = 40 - 8y$$ $$8y = 40 - 5x \implies y = \frac{40 - 5x}{8} = 5 - \frac{5}{8}x$$ 💡 **Tip:** El dominio admisible para $x$ es $0 \lt x \lt 8$, ya que la base del rectángulo no puede ser mayor que la del triángulo ni negativa. $$\boxed{y = 5 - \dfrac{5}{8}x}$$

Sustituimos la expresión de $y$ en la fórmula del área: $$A(x) = x \cdot \left( 5 - \frac{5}{8}x \right) = 5x - \frac{5}{8}x^2$$ Para encontrar el máximo, calculamos la primera derivada de la función área $A(x)$: $$A'(x) = \frac{d}{dx} \left( 5x - \frac{5}{8}x^2 \right)$$ $$A'(x) = 5 - \frac{5}{8} \cdot 2x = 5 - \frac{5}{4}x$$ Igualamos la derivada a cero para encontrar los puntos críticos: $$5 - \frac{5}{4}x = 0 \implies 5 = \frac{5}{4}x$$ Multiplicando por $4$ y dividiendo por $5$: $$20 = 5x \implies x = 4$$ 💡 **Tip:** Recuerda que los puntos donde la derivada es cero son candidatos a máximos o mínimos relativos.

Para asegurar que $x = 4$ corresponde a un máximo, utilizamos el criterio de la segunda derivada: $$A''(x) = \frac{d}{dx} \left( 5 - \frac{5}{4}x \right) = -\frac{5}{4}$$ Como $A''(4) = -\frac{5}{4} \lt 0$, la función es cóncava hacia abajo en el punto crítico, lo que confirma que en **$x = 4$ hay un máximo relativo**. También podemos observar la tabla de signos de $A'(x)$: $$\begin{array}{c|ccc} x & (0, 4) & 4 & (4, 8) \\ \hline A'(x) & + & 0 & - \\ \text{Crecimiento} & \nearrow & \text{Máx} & \searrow \end{array}$$ $$\boxed{\text{El máximo se alcanza para } x = 4 \text{ cm}}$$

Calculamos el valor de la altura $y$ correspondiente a $x = 4$: $$y = 5 - \frac{5}{8}(4) = 5 - \frac{20}{8} = 5 - 2.5 = 2.5$$ Por tanto, las dimensiones del rectángulo de área máxima son: - Base: $x = 4 \text{ cm}$ - Altura: $y = 2.5 \text{ cm}$ El área máxima sería $A = 4 \cdot 2.5 = 10 \text{ cm}^2$. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Base } = 4 \text{ cm}, \quad \text{Altura } = 2.5 \text{ cm}}$$