Geometría en el espacio: planos y áreas

**a) [1,25 puntos] Determina la ecuación del plano que pasa por el punto $A(0, 1, 0)$ y es perpendicular a la recta $r$ dada por $x + 1 = \frac{y + 2}{2} = z - 1$.** Si el plano $\pi$ es perpendicular a la recta $r$, el vector director de la recta, $\vec{v_r}$, será paralelo al vector normal del plano, $\vec{n_\pi}$. Por lo tanto, podemos tomar: $$\vec{n_\pi} = \vec{v_r}$$ Extraemos el vector director de la recta $r$ a partir de su ecuación continua: $$\frac{x - (-1)}{1} = \frac{y - (-2)}{2} = \frac{z - 1}{1}$$ El vector director es $\vec{v_r} = (1, 2, 1)$. Así pues, el vector normal del plano es: $$\vec{n_\pi} = (1, 2, 1)$$ 💡 **Tip:** Recuerda que en la ecuación continua de la recta $\frac{x-x_0}{v_1} = \frac{y-y_0}{v_2} = \frac{z-z_0}{v_3}$, el vector director es $(v_1, v_2, v_3)$ siempre que los coeficientes de $x, y, z$ sean $1$.

La ecuación general de un plano con vector normal $\vec{n_\pi} = (A, B, C)$ es $Ax + By + Cz + D = 0$. En nuestro caso: $$1x + 2y + 1z + D = 0 \implies x + 2y + z + D = 0$$ Para hallar $D$, imponemos que el plano pase por el punto $A(0, 1, 0)$: $$0 + 2(1) + 0 + D = 0 \implies 2 + D = 0 \implies D = -2$$ Sustituyendo el valor de $D$, obtenemos la ecuación del plano: $$\boxed{x + 2y + z - 2 = 0}$$ ✅ **Resultado (Ecuación del plano):** $$\boxed{\pi \equiv x + 2y + z = 2}$$

**b) [1,25 puntos] Calcula el área del triángulo cuyos vértices son los puntos de corte del plano de ecuación $2x + 3y + 4z = 12$ con los ejes coordenados.** Calculamos la intersección del plano con cada eje: - **Eje OX** ($y=0, z=0$): $$2x + 3(0) + 4(0) = 12 \implies 2x = 12 \implies x = 6 \implies P(6, 0, 0)$$ - **Eje OY** ($x=0, z=0$): $$2(0) + 3y + 4(0) = 12 \implies 3y = 12 \implies y = 4 \implies Q(0, 4, 0)$$ - **Eje OZ** ($x=0, y=0$): $$2(0) + 3(0) + 4z = 12 \implies 4z = 12 \implies z = 3 \implies R(0, 0, 3)$$ Los vértices del triángulo son **$P(6, 0, 0)$**, **$Q(0, 4, 0)$** y **$R(0, 0, 3)$**. 💡 **Tip:** Para hallar el corte con un eje, basta con igualar a cero las otras dos variables en la ecuación del plano.

Para calcular el área del triángulo formado por los puntos $P$, $Q$ y $R$, utilizaremos el producto vectorial. Primero, definimos dos vectores que partan del mismo vértice, por ejemplo, el vértice $P$: $$\vec{PQ} = Q - P = (0-6, 4-0, 0-0) = (-6, 4, 0)$$ $$\vec{PR} = R - P = (0-6, 0-0, 3-0) = (-6, 0, 3)$$ 💡 **Tip:** El área de un triángulo de vértices $A, B, C$ se calcula como $\text{Área} = \frac{1}{2} |\vec{AB} \times \vec{AC}|$.

Calculamos el producto vectorial $\vec{PQ} \times \vec{PR}$ mediante un determinante: $$\vec{PQ} \times \vec{PR} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -6 & 4 & 0 \\ -6 & 0 & 3 \end{vmatrix}$$ Desarrollamos por Sarrus: $$\vec{PQ} \times \vec{PR} = \vec{i}(4 \cdot 3 - 0 \cdot 0) - \vec{j}(-6 \cdot 3 - 0 \cdot (-6)) + \vec{k}(-6 \cdot 0 - 4 \cdot (-6))$$ $$\vec{PQ} \times \vec{PR} = 12\vec{i} - (-18)\vec{j} + 24\vec{k} = (12, 18, 24)$$ El vector resultante del producto vectorial es **$(12, 18, 24)$**.

El área del triángulo es la mitad del módulo del vector producto vectorial: $$\text{Área} = \frac{1}{2} |(12, 18, 24)| = \frac{1}{2} \sqrt{12^2 + 18^2 + 24^2}$$ $$\text{Área} = \frac{1}{2} \sqrt{144 + 324 + 576} = \frac{1}{2} \sqrt{1044}$$ Simplificamos la raíz: $$1044 = 36 \cdot 29 \implies \sqrt{1044} = 6\sqrt{29}$$ $$\text{Área} = \frac{6\sqrt{29}}{2} = 3\sqrt{29} \approx 16,155 \text{ u}^2$$ ✅ **Resultado (Área del triángulo):** $$\boxed{\text{Área} = 3\sqrt{29} \text{ unidades}^2}$$