Inversa, invertibilidad con parámetros y rango de matrices

**a) [0,75 puntos] Halla, si existe, la inversa de $A$.** Una matriz cuadrada $A$ tiene inversa si y solo si su determinante es distinto de cero ($|A| \neq 0$). Calculamos el determinante de $A$. Para ello, aprovechamos que la primera columna tiene dos ceros y desarrollamos por ella: $$|A| = \begin{vmatrix} 0 & -1 & -2 \\ 0 & 2 & 0 \\ 1 & 1 & 3 \end{vmatrix} = 1 \cdot (-1)^{3+1} \begin{vmatrix} -1 & -2 \\ 2 & 0 \end{vmatrix} = 1 \cdot (0 - (-4)) = 4.$$ Como $|A| = 4 \neq 0$, la matriz **$A$ tiene inversa**. 💡 **Tip:** Desarrollar un determinante por una fila o columna con muchos ceros simplifica notablemente los cálculos.

Calculamos los adjuntos de los elementos de $A$: - $A_{11} = +\begin{vmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} = 6$; $A_{12} = -\begin{vmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} = 0$; $A_{13} = +\begin{vmatrix} 0 & 2 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = -2$ - $A_{21} = -\begin{vmatrix} -1 & -2 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} = -(-3+2) = 1$; $A_{22} = +\begin{vmatrix} 0 & -2 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} = 2$; $A_{23} = -\begin{vmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = -1$ - $A_{31} = +\begin{vmatrix} -1 & -2 \\ 2 & 0 \end{vmatrix} = 4$; $A_{32} = -\begin{vmatrix} 0 & -2 \\ 0 & 0 \end{vmatrix} = 0$; $A_{33} = +\begin{vmatrix} 0 & -1 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} = 0$ La matriz adjunta es: $$\text{Adj}(A) = \begin{pmatrix} 6 & 0 & -2 \\ 1 & 2 & -1 \\ 4 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$ Trasponemos la matriz adjunta: $$(\text{Adj}(A))^t = \begin{pmatrix} 6 & 1 & 4 \\ 0 & 2 & 0 \\ -2 & -1 & 0 \end{pmatrix}$$

Aplicamos la fórmula de la matriz inversa $A^{-1} = \dfrac{1}{|A|} (\text{Adj}(A))^t$: $$A^{-1} = \frac{1}{4} \begin{pmatrix} 6 & 1 & 4 \\ 0 & 2 & 0 \\ -2 & -1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3/2 & 1/4 & 1 \\ 0 & 1/2 & 0 \\ -1/2 & -1/4 & 0 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado (matriz inversa):** $$\boxed{A^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{3}{2} & \frac{1}{4} & 1 \\ 0 & \frac{1}{2} & 0 \\ -\frac{1}{2} & -\frac{1}{4} & 0 \end{pmatrix}}$$

**b) [1,25 puntos] Determina los valores de $m$ tales que $(A - mI)$ tiene inversa ($I$ es la matriz identidad).** Sea $B = A - mI$. La matriz $B$ tendrá inversa si su determinante es distinto de cero ($|B| \neq 0$). Primero, calculamos la matriz $B$: $$B = A - mI = \begin{pmatrix} 0 & -1 & -2 \\ 0 & 2 & 0 \\ 1 & 1 & 3 \end{pmatrix} - m \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -m & -1 & -2 \\ 0 & 2-m & 0 \\ 1 & 1 & 3-m \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Restar $mI$ consiste simplemente en restar $m$ a los elementos de la diagonal principal de $A$.

Calculamos el determinante de $B$ desarrollando por la segunda fila, que contiene dos ceros: $$|A - mI| = \begin{vmatrix} -m & -1 & -2 \\ 0 & 2-m & 0 \\ 1 & 1 & 3-m \end{vmatrix} = (2-m) \cdot (-1)^{2+2} \begin{vmatrix} -m & -2 \\ 1 & 3-m \end{vmatrix}$$ $$|A - mI| = (2-m) [(-m)(3-m) - (-2)(1)] = (2-m) [m^2 - 3m + 2]$$ Para que la matriz no sea invertible, el determinante debe ser cero: $$(2-m)(m^2 - 3m + 2) = 0$$ Esto ocurre si: 1. $2 - m = 0 \implies \mathbf{m = 2}$ 2. $m^2 - 3m + 2 = 0$ Resolvemos la ecuación de segundo grado: $$m = \frac{3 \pm \sqrt{(-3)^2 - 4(1)(2)}}{2(1)} = \frac{3 \pm \sqrt{9-8}}{2} = \frac{3 \pm 1}{2}$$ Las raíces son $\mathbf{m = 2}$ y $\mathbf{m = 1}$.

Hemos obtenido que el determinante es cero si $m=1$ o $m=2$. Como el determinante es $|A-mI| = -(m-2)^2(m-1)$, la matriz tendrá inversa para todos los valores reales excepto estos dos. Por tanto, $(A-mI)$ tiene inversa siempre que $m \neq 1$ y $m \neq 2$. ✅ **Resultado (valores de m):** $$\boxed{m \in \mathbb{R} \setminus \{1, 2\}}$$

**c) [0,5 puntos] Calcula el rango de $(A - 2I)$.** Sustituimos $m=2$ en la expresión de $B = A - mI$ obtenida en el apartado anterior: $$A - 2I = \begin{pmatrix} -2 & -1 & -2 \\ 0 & 2-2 & 0 \\ 1 & 1 & 3-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$$ Observamos la matriz: - El rango no puede ser 3 porque hay una fila completa de ceros ($F_2$). - Como hay elementos distintos de cero, el rango es al menos 1. - Buscamos un menor de orden 2 distinto de cero, por ejemplo, tomando las esquinas de las filas 1 y 3 y columnas 1 y 2: $$\begin{vmatrix} -2 & -1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = -2 - (-1) = -1 \neq 0.$$ Como existe un menor de orden 2 no nulo, el rango de la matriz es 2. ✅ **Resultado (rango):** $$\boxed{\text{rg}(A - 2I) = 2}$$