Continuidad e integral definida de una función a trozos

**a) [0,5 puntos] Determina $a$.** Para que la función sea continua en su dominio $[0, +\infty)$, debe serlo en particular en el punto de salto entre ramas $x = 8$. Las ramas individuales son continuas en sus intervalos abiertos: la primera es una raíz cuadrada (continua para $ax \ge 0$) y la segunda es una función racional cuyo denominador se anula en $x=4$, pero como esta rama solo se aplica para $x \gt 8$, no presenta problemas. Para que $f(x)$ sea continua en $x = 8$, se deben cumplir tres condiciones: 1. Existe $f(8)$. 2. Existe el límite $\lim_{x \to 8} f(x)$. 3. Ambos valores coinciden. Esto se resume en que los límites laterales deben ser iguales al valor de la función: $$\lim_{x \to 8^-} f(x) = \lim_{x \to 8^+} f(x) = f(8)$$ 💡 **Tip:** En funciones a trozos, la continuidad suele decidirse igualando los límites por la izquierda y por la derecha en los puntos donde cambia la definición.

Calculamos el límite por la izquierda usando la primera rama: $$\lim_{x \to 8^-} \sqrt{ax} = \sqrt{8a}$$ Calculamos el límite por la derecha usando la segunda rama: $$\lim_{x \to 8^+} \frac{x^2 - 32}{x - 4} = \frac{8^2 - 32}{8 - 4} = \frac{64 - 32}{4} = \frac{32}{4} = 8$$ Igualamos ambos resultados para garantizar la continuidad: $$\sqrt{8a} = 8$$ Elevamos al cuadrado ambos miembros: $$8a = 64 \implies a = \frac{64}{8} = 8$$ ✅ **Resultado (apartado a):** $$\boxed{a = 8}$$

**b) [2 puntos] Para $a = 8$, calcula $\int_0^{10} f(x) \, dx$.** Sustituimos $a = 8$ en la función: $$f(x) = \begin{cases} \sqrt{8x} & \text{si } 0 \le x \le 8 \\ \frac{x^2 - 32}{x - 4} & \text{si } x \gt 8 \end{cases}$$ Como la función está definida a trozos y el intervalo de integración $[0, 10]$ cruza el punto de cambio $x = 8$, debemos dividir la integral en dos partes: $$\int_0^{10} f(x) \, dx = \int_0^8 \sqrt{8x} \, dx + \int_8^{10} \frac{x^2 - 32}{x - 4} \, dx$$ 💡 **Tip:** La propiedad de aditividad de la integral respecto al intervalo nos permite escribir $\int_a^c f = \int_a^b f + \int_b^c f$.

Calculamos $I_1 = \int_0^8 \sqrt{8x} \, dx$. Podemos reescribir la raíz como una potencia: $$\sqrt{8x} = \sqrt{8} \cdot \sqrt{x} = 2\sqrt{2} \cdot x^{1/2}$$ Aplicamos la regla de la potencia para integrar: $$\int 2\sqrt{2} x^{1/2} \, dx = 2\sqrt{2} \frac{x^{3/2}}{3/2} = 2\sqrt{2} \cdot \frac{2}{3} x^{3/2} = \frac{4\sqrt{2}}{3} \sqrt{x^3}$$ Aplicamos la regla de Barrow entre $0$ y $8$: $$I_1 = \left[ \frac{4\sqrt{2}}{3} \sqrt{x^3} \right]_0^8 = \frac{4\sqrt{2}}{3} \sqrt{8^3} - 0$$ Como $8^3 = (2^3)^3 = 2^9$, entonces $\sqrt{8^3} = \sqrt{2^9} = 2^4\sqrt{2} = 16\sqrt{2}$: $$I_1 = \frac{4\sqrt{2}}{3} \cdot 16\sqrt{2} = \frac{64 \cdot 2}{3} = \frac{128}{3}$$ $$\boxed{I_1 = \frac{128}{3}}$$

Calculamos $I_2 = \int_8^{10} \frac{x^2 - 32}{x - 4} \, dx$. Al ser una función racional donde el grado del numerador es mayor o igual al del denominador, realizamos la división polinómica: $$\begin{array}{r|rr} x^2 & & -32 & x - 4 \\ \hline -x^2 & +4x & & x + 4 \\ \hline & 4x & -32 \\ & -4x & +16 \\ \hline & & -16 \end{array}$$ Por tanto: $\frac{x^2 - 32}{x - 4} = x + 4 - \frac{16}{x - 4}$. Integramos término a término: $$\int \left( x + 4 - \frac{16}{x - 4} \right) dx = \frac{x^2}{2} + 4x - 16 \ln|x - 4|$$ Aplicamos la regla de Barrow entre $8$ y $10$: $$I_2 = \left( \frac{10^2}{2} + 4(10) - 16 \ln|10 - 4| \right) - \left( \frac{8^2}{2} + 4(8) - 16 \ln|8 - 4| \right)$$ $$I_2 = (50 + 40 - 16 \ln 6) - (32 + 32 - 16 \ln 4)$$ $$I_2 = 90 - 16 \ln 6 - 64 + 16 \ln 4 = 26 - 16(\ln 6 - \ln 4)$$ Usando propiedades de logaritmos $(\ln a - \ln b = \ln \frac{a}{b})$: $$I_2 = 26 - 16 \ln \left( \frac{6}{4} \right) = 26 - 16 \ln \left( \frac{3}{2} \right)$$ $$\boxed{I_2 = 26 - 16 \ln(1.5)}$$

Sumamos ambos resultados para obtener el valor total de la integral: $$\int_0^{10} f(x) \, dx = I_1 + I_2 = \frac{128}{3} + 26 - 16 \ln(1.5)$$ Operamos la parte numérica: $$\frac{128}{3} + \frac{78}{3} = \frac{206}{3}$$ ✅ **Resultado (apartado b):** $$\boxed{\int_0^{10} f(x) \, dx = \frac{206}{3} - 16 \ln(1.5) \approx 62.18}$$