Posición relativa y distancia entre rectas

**a) [1,25 puntos] Determina la posición relativa de $r$ y $s$.** Para estudiar la posición relativa, primero obtenemos un punto y un vector director de la recta $r$. La recta pasa por $A(3, 6, 7)$ y $B(7, 8, 3)$. - Punto: $P_r = A(3, 6, 7)$ - Vector director $\vec{v}_r$: es el vector que une los puntos $A$ y $B$. $$\vec{v}_r = \vec{AB} = (7-3, 8-6, 3-7) = (4, 2, -4)$$ Podemos simplificar el vector director dividiendo entre 2: $$\vec{v}_r = (2, 1, -2)$$ 💡 **Tip:** En geometría, podemos usar cualquier vector proporcional al vector director para facilitar los cálculos.

La recta $s$ viene dada por la intersección de dos planos. Obtenemos su vector director mediante el producto vectorial de los vectores normales de dichos planos $\vec{n}_1 = (1, -4, -1)$ y $\vec{n}_2 = (3, -4, 1)$. $$\vec{v}_s = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2 = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & -4 & -1 \\ 3 & -4 & 1 \end{vmatrix}$$ Resolvemos por Sarrus: $$\vec{v}_s = \vec{i}(-4) + \vec{j}(-3) + \vec{k}(-4) - [\vec{k}(-12) + \vec{i}(4) + \vec{j}(1)]$$ $$\vec{v}_s = (-4-4)\vec{i} + (-3-1)\vec{j} + (-4+12)\vec{k} = (-8, -4, 8)$$ Simplificamos el vector dividiendo entre -4 para que sea más manejable: $$\vec{v}_s = (2, 1, -2)$$ Para obtener un punto $P_s$, fijamos una coordenada, por ejemplo $y=0$, en el sistema original: $$\begin{cases} x - z = -10 \\ 3x + z = -2 \end{cases}$$ Sumando ambas ecuaciones: $4x = -12 \implies x = -3$. Sustituyendo en la primera: $-3 - z = -10 \implies z = 7$. Así, $P_s(-3, 0, 7)$.

Comparamos los vectores directores $\vec{v}_r = (2, 1, -2)$ y $\vec{v}_s = (2, 1, -2)$. Como los vectores son iguales (o proporcionales), las rectas son **paralelas o coincidentes**. Para distinguir ambos casos, comprobamos si el punto $P_r(3, 6, 7)$ pertenece a la recta $s$ sustituyendo sus coordenadas en las ecuaciones implícitas de $s$: 1) $3 - 4(6) - 7 = 3 - 24 - 7 = -28 \neq -10$ 2) $3(3) - 4(6) + 7 = 9 - 24 + 7 = -8 \neq -2$ Como el punto no satisface las ecuaciones, las rectas no tienen puntos en común. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Las rectas } r \text{ y } s \text{ son paralelas}}$$

**b) [1,25 puntos] Calcula la distancia entre $r$ y $s$.** Dado que las rectas son paralelas, la distancia entre ellas es igual a la distancia de un punto cualquiera de una de las rectas (por ejemplo, $A \in r$) a la otra recta ($s$). La fórmula de la distancia de un punto $A$ a una recta $s$ es: $$d(r, s) = d(A, s) = \frac{|\vec{v}_s \times \vec{P_s A}|}{|\vec{v}_s|}$$ Utilizaremos: - $A(3, 6, 7)$ - $P_s(-3, 0, 7)$ - $\vec{v}_s = (2, 1, -2)$ - Vector $\vec{P_s A} = (3 - (-3), 6 - 0, 7 - 7) = (6, 6, 0)$ 💡 **Tip:** Recuerda que la distancia entre dos rectas paralelas se reduce a calcular la distancia de un punto a una recta utilizando el área del paralelogramo definido por el vector director y el vector que une los puntos.

Calculamos el producto vectorial $\vec{v}_s \times \vec{P_s A}$: $$\vec{v}_s \times \vec{P_s A} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & 1 & -2 \\ 6 & 6 & 0 \end{vmatrix}$$ $$\vec{v}_s \times \vec{P_s A} = \vec{i}(0) + \vec{j}(-12) + \vec{k}(12) - [\vec{k}(6) + \vec{i}(-12) + \vec{j}(0)]$$ $$\vec{v}_s \times \vec{P_s A} = (0+12, -12-0, 12-6) = (12, -12, 6)$$ Ahora calculamos los módulos: $$|\vec{v}_s \times \vec{P_s A}| = \sqrt{12^2 + (-12)^2 + 6^2} = \sqrt{144 + 144 + 36} = \sqrt{324} = 18$$ $$|\vec{v}_s| = \sqrt{2^2 + 1^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 1 + 4} = \sqrt{9} = 3$$

Sustituimos los valores obtenidos en la fórmula de la distancia: $$d(r, s) = \frac{18}{3} = 6$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{d(r, s) = 6 \text{ unidades de longitud}}$$