Propiedades de los determinantes

**a) [0,75 puntos] El determinante de la matriz $5M^4$.** Para calcular este determinante, utilizaremos dos propiedades fundamentales de los determinantes: 1. **Propiedad del producto por un escalar:** Si $A$ es una matriz de orden $n$, entonces $|k \cdot A| = k^n \cdot |A|$. En este caso, $M$ es una matriz de orden $3$, por lo que $|5 \cdot M^4| = 5^3 \cdot |M^4|$. 2. **Propiedad del determinante de una potencia:** $|A^k| = (|A|)^k$. Por tanto, $|M^4| = (|M|)^4$. Sustituimos los valores conocidos ($|M| = 2$): $$|5M^4| = 5^3 \cdot (|M|)^4$$ $$|5M^4| = 125 \cdot 2^4$$ $$|5M^4| = 125 \cdot 16 = 2000$$ 💡 **Tip:** Recuerda que al sacar un número fuera de un determinante, este sale elevado al orden de la matriz (en este caso $3$ porque $M$ tiene $3$ filas y $3$ columnas). ✅ **Resultado:** $$\boxed{|5M^4| = 2000}$$

**b) [0,75 puntos] Calcula $\begin{vmatrix} 2 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ x & y & z \end{vmatrix}$** Vamos a transformar el determinante pedido para que se parezca al de la matriz $M = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 6 & 0 & 3 \\ x & y & z \end{pmatrix}$, cuyo determinante es $|M| = 2$. **Paso 1:** Intercambiamos la primera y la segunda fila ($F_1 \leftrightarrow F_2$). Al intercambiar dos filas, el determinante cambia de signo: $$\begin{vmatrix} 2 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ x & y & z \end{vmatrix} = - \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 0 & 1 \\ x & y & z \end{vmatrix}$$ **Paso 2:** Multiplicamos la segunda fila por $3$ para obtener la fila $(6, 0, 3)$ de la matriz $M$. Para que el valor del determinante no varíe, debemos multiplicar fuera por $1/3$ (o visto de otro modo, extraemos el factor $1/3$ de la fila $2$ de $M$): $$- \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 0 & 1 \\ x & y & z \end{vmatrix} = - \frac{1}{3} \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 \cdot 2 & 3 \cdot 0 & 3 \cdot 1 \\ x & y & z \end{vmatrix} = - \frac{1}{3} \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 6 & 0 & 3 \\ x & y & z \end{vmatrix}$$ Como el determinante resultante es exactamente $|M| = 2$: $$- \frac{1}{3} \cdot |M| = - \frac{1}{3} \cdot 2 = -\frac{2}{3}$$ 💡 **Tip:** Si multiplicas una fila por un número, el determinante queda multiplicado por ese número. Si intercambias dos filas, el determinante cambia de signo. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\begin{vmatrix} 2 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ x & y & z \end{vmatrix} = -\frac{2}{3}}$$

**c) [1 punto] Calcula $\begin{vmatrix} 1 & x + 6 & x \\ 2 & y & y \\ 3 & z + 3 & z \end{vmatrix}$** Primero, observamos que las variables $x, y, z$ que estaban en la tercera fila de $M$ ahora aparecen en columnas. Recordemos que el determinante de una matriz es igual al de su traspuesta $|A| = |A^t|$. La traspuesta de $M$ es $M^t = \begin{pmatrix} 1 & 6 & x \\ 2 & 0 & y \\ 3 & 3 & z \end{pmatrix}$, y sabemos que $|M^t| = 2$. **Paso 1:** Usamos la propiedad que permite separar un determinante en suma de dos si una columna (o fila) es suma de dos sumandos: $$\begin{vmatrix} 1 & x + 6 & x \\ 2 & y & y \\ 3 & z + 3 & z \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & 6 & x \\ 2 & 0 & y \\ 3 & 3 & z \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} 1 & x & x \\ 2 & y & y \\ 3 & z & z \end{vmatrix}$$ **Paso 2:** Analizamos cada determinante por separado: - El primer determinante es exactamente $|M^t|$, que vale **$2$**. - El segundo determinante tiene dos columnas iguales ($C_2$ y $C_3$ son ambas $\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$). Si un determinante tiene dos filas o columnas iguales, su valor es **$0$**. Por tanto: $$|C| = 2 + 0 = 2$$ 💡 **Tip:** No olvides que $|A| = |A^t|$. Muchas veces los ejercicios de propiedades requieren trasponer mentalmente la matriz original para ver la relación. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\begin{vmatrix} 1 & x + 6 & x \\ 2 & y & y \\ 3 & z + 3 & z \end{vmatrix} = 2}$$