Cálculo de un límite mediante la regla de L'Hôpital

Para calcular el límite, primero evaluamos la expresión en $x = 0$ para comprobar si existe una indeterminación. $$\lim_{x\to 0} \frac{\text{tg} (x) - x}{x - \text{sen} (x)} = \frac{\text{tg} (0) - 0}{0 - \text{sen} (0)} = \frac{0 - 0}{0 - 0} = \left[ \frac{0}{0} \right]$$ Como obtenemos una indeterminación del tipo $\frac{0}{0}$, podemos aplicar la **regla de L'Hôpital**, que consiste en derivar de forma independiente el numerador y el denominador. 💡 **Tip:** Recuerda que la regla de L'Hôpital dice que si $\lim_{x\to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \left[ \frac{0}{0} \right]$ y las funciones son derivables, entonces el límite es igual a $\lim_{x\to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}$.

Derivamos el numerador y el denominador: - Numerador: $(\text{tg}(x) - x)' = \sec^2(x) - 1$ - Denominador: $(x - \text{sen}(x))' = 1 - \cos(x)$ Aplicamos el límite: $$\lim_{x\to 0} \frac{\text{tg} (x) - x}{x - \text{sen} (x)} = \lim_{x\to 0} \frac{\sec^2(x) - 1}{1 - \cos(x)}$$ Para facilitar el cálculo, recordamos la identidad trigonométrica $\sec^2(x) - 1 = \text{tg}^2(x)$. Así: $$\lim_{x\to 0} \frac{\text{tg}^2(x)}{1 - \cos(x)}$$ Evaluamos de nuevo en $x = 0$: $$\frac{\text{tg}^2(0)}{1 - \cos(0)} = \frac{0}{1 - 1} = \left[ \frac{0}{0} \right]$$ La indeterminación persiste, por lo que aplicamos la regla de L'Hôpital una segunda vez.

Derivamos de nuevo el numerador y el denominador del límite obtenido: - Numerador: $(\text{tg}^2(x))' = 2 \cdot \text{tg}(x) \cdot \sec^2(x)$ - Denominador: $(1 - \cos(x))' = \text{sen}(x)$ El límite queda: $$\lim_{x\to 0} \frac{2 \cdot \text{tg}(x) \cdot \sec^2(x)}{\text{sen}(x)}$$ 💡 **Tip:** Para derivar $\text{tg}^2(x)$ usamos la regla de la cadena: $[u(x)^n]' = n \cdot u(x)^{n-1} \cdot u'(x)$. En este caso, $u(x) = \text{tg}(x)$.

Para resolver este límite de forma sencilla, expresamos la tangente en función de seno y coseno: $$\text{tg}(x) = \frac{\text{sen}(x)}{\cos(x)}$$ Sustituimos en la expresión del límite: $$\lim_{x\to 0} \frac{2 \cdot \frac{\text{sen}(x)}{\cos(x)} \cdot \frac{1}{\cos^2(x)}}{\text{sen}(x)} = \lim_{x\to 0} \frac{2 \cdot \text{sen}(x)}{\text{sen}(x) \cdot \cos^3(x)}$$ Simplificamos cancelando el término $\text{sen}(x)$ en el numerador y el denominador (ya que $x \to 0$ pero $x \neq 0$): $$\lim_{x\to 0} \frac{2}{\cos^3(x)}$$ Ahora evaluamos el límite sustituyendo $x = 0$: $$\frac{2}{\cos^3(0)} = \frac{2}{1^3} = 2$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\lim_{x\to 0} \frac{\text{tg} (x) - x}{x - \text{sen} (x)} = 2}$$