Intersección y perpendicularidad de rectas. Ecuación del plano

**a) [1,5 puntos] Halla los valores de $m$ y $n$ para los que $r$ y $s$ se cortan perpendicularmente.** Primero, identificamos un punto y un vector director de cada recta. Para la recta $r$, que está en forma continua $\frac{x - x_0}{v_1} = \frac{y - y_0}{v_2} = \frac{z - z_0}{v_3}$: - Punto $P_r = (1, -1, 0)$ - Vector director $\vec{u_r} = (2, m, 1)$ Para la recta $s$, expresada como intersección de dos planos, la pasamos a paramétricas asignando $z = \lambda$: $$\begin{cases} x = -2 - n\lambda \\ y = -3 + \lambda \\ z = \lambda \end{cases}$$ - Punto $P_s = (-2, -3, 0)$ - Vector director $\vec{v_s} = (-n, 1, 1)$ 💡 **Tip:** Para obtener el vector director de una recta en implícitas también puedes hacer el producto vectorial de los vectores normales de los planos que la definen.

Para que las rectas sean perpendiculares, sus vectores directores deben ser ortogonales, es decir, su producto escalar debe ser cero: $\vec{u_r} \cdot \vec{v_s} = 0$. $$\vec{u_r} \cdot \vec{v_s} = (2, m, 1) \cdot (-n, 1, 1) = -2n + m + 1 = 0$$ De aquí obtenemos la primera ecuación: $$m - 2n = -1 \quad [1]$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $\vec{u} \cdot \vec{v} = u_1 v_1 + u_2 v_2 + u_3 v_3$.

Para que las rectas se corten (sean secantes), deben ser coplanarias y no paralelas. Como sus vectores directores dependen de parámetros, la condición de que estén en el mismo plano es que el determinante formado por $\vec{u_r}$, $\vec{v_s}$ y el vector $\vec{P_r P_s}$ sea igual a cero. Calculamos el vector $\vec{P_r P_s}$: $$\vec{P_r P_s} = P_s - P_r = (-2 - 1, -3 - (-1), 0 - 0) = (-3, -2, 0)$$ Planteamos el determinante: $$\det(\vec{u_r}, \vec{v_s}, \vec{P_r P_s}) = \begin{vmatrix} 2 & m & 1 \\ -n & 1 & 1 \\ -3 & -2 & 0 \end{vmatrix} = 0$$ Resolvemos por Sarrus: $$[2 \cdot 1 \cdot 0 + m \cdot 1 \cdot (-3) + 1 \cdot (-n) \cdot (-2)] - [1 \cdot 1 \cdot (-3) + m \cdot (-n) \cdot 0 + 2 \cdot 1 \cdot (-2)] = 0$$ $$(0 - 3m + 2n) - (-3 + 0 - 4) = 0$$ $$-3m + 2n + 7 = 0$$ $$3m - 2n = 7 \quad [2]$$ 💡 **Tip:** Si el determinante es cero, los tres vectores son linealmente dependientes, lo que implica que las rectas están en el mismo plano.

Resolvemos el sistema formado por $[1]$ y $[2]$: $$\begin{cases} m - 2n = -1 \\ 3m - 2n = 7 \end{cases}$$ Restamos la primera ecuación a la segunda: $$(3m - 2n) - (m - 2n) = 7 - (-1)$$ $$2m = 8 \implies m = 4$$ Sustituimos $m = 4$ en la primera ecuación: $$4 - 2n = -1 \implies -2n = -5 \implies n = \frac{5}{2} = 2.5$$ ✅ **Resultado (valores de m y n):** $$\boxed{m = 4, \quad n = 2.5}$$

**b) [1 punto] Para $m = 3$ y $n = 1$, calcula la ecuación general del plano que contiene a $r$ y a $s$.** Primero comprobamos que las rectas son coplanarias con estos valores. Sustituimos en el determinante del paso 3: $$\begin{vmatrix} 2 & 3 & 1 \\ -1 & 1 & 1 \\ -3 & -2 & 0 \end{vmatrix} = (0 - 9 + 2) - (-3 - 4 + 0) = -7 - (-7) = 0$$ Efectivamente, son coplanarias. Como los vectores directores $\vec{u_r}=(2,3,1)$ y $\vec{v_s}=(-1,1,1)$ no son proporcionales, las rectas se cortan en un punto. El plano $\pi$ que las contiene tendrá como vectores directores $\vec{u_r}$ y $\vec{v_s}$, y pasará por el punto $P_r(1, -1, 0)$. El vector normal al plano $\vec{n_\pi}$ se obtiene mediante el producto vectorial: $$\vec{n_\pi} = \vec{u_r} \times \vec{v_s} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & 3 & 1 \\ -1 & 1 & 1 \end{vmatrix}$$ Calculamos por adjuntos: $$\vec{n_\pi} = \vec{i}(3-1) - \vec{j}(2+1) + \vec{k}(2+3) = 2\vec{i} - 3\vec{j} + 5\vec{k}$$ $$\vec{n_\pi} = (2, -3, 5)$$ 💡 **Tip:** El vector normal $(A, B, C)$ define la orientación del plano $Ax + By + Cz + D = 0$.

La ecuación del plano es de la forma $2x - 3y + 5z + D = 0$. Para hallar $D$, imponemos que el punto $P_r(1, -1, 0)$ pertenezca al plano: $$2(1) - 3(-1) + 5(0) + D = 0$$ $$2 + 3 + 0 + D = 0 \implies 5 + D = 0 \implies D = -5$$ Por tanto, la ecuación general del plano es: $$2x - 3y + 5z - 5 = 0$$ ✅ **Resultado (ecuación del plano):** $$\boxed{2x - 3y + 5z - 5 = 0}$$