Discusión y resolución de un sistema con parámetros

**a) [1,5 puntos] Discute el sistema según los valores del parámetro $m$.** En primer lugar, escribimos la matriz de coeficientes $A$ y la matriz ampliada $A^*$ asociadas al sistema: $$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & m \\ 0 & 1 & -1 \\ 1 & m & 1 \end{pmatrix}; \quad A^* = \begin{pmatrix} 1 & 1 & m & | & m^2 \\ 0 & 1 & -1 & | & m \\ 1 & m & 1 & | & m \end{pmatrix}$$ Calculamos el determinante de $A$ utilizando la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & 1 & m \\ 0 & 1 & -1 \\ 1 & m & 1 \end{vmatrix} = (1 \cdot 1 \cdot 1) + (1 \cdot (-1) \cdot 1) + (m \cdot 0 \cdot m) - (m \cdot 1 \cdot 1) - ((-1) \cdot m \cdot 1) - (1 \cdot 0 \cdot 1)$$ $$|A| = 1 - 1 + 0 - m + m - 0 = 0$$ Como el determinante de $A$ es cero independientemente del valor de $m$, el rango de $A$ será menor que $3$. Buscamos un menor de orden $2$ no nulo: $$\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 1 \neq 0 \implies \text{rg}(A) = 2 \text{ para cualquier } m \in \mathbb{R}.$$ 💡 **Tip:** Si el determinante de la matriz de coeficientes es siempre cero, el sistema nunca será Compatible Determinado.

Para estudiar el rango de $A^*$, tomamos un menor de orden $3$ que incluya la columna de los términos independientes (columna 4) y dos columnas de $A$ que formen un menor de orden $2$ no nulo (por ejemplo, las columnas 1 y 2): $$M = \begin{vmatrix} 1 & 1 & m^2 \\ 0 & 1 & m \\ 1 & m & m \end{vmatrix} = 1(m - m^2) - 1(0 - m) + m^2(0 - 1)$$ $$|M| = m - m^2 + m - m^2 = 2m - 2m^2 = 2m(1 - m)$$ Igualamos a cero para encontrar los valores críticos de $m$: $$2m(1 - m) = 0 \implies m = 0, \quad m = 1$$ Analizaremos el rango de $A^*$ en función de estos valores.

Aplicamos el Teorema de Rouché-Frobenius para clasificar el sistema: 1. **Si $m \neq 0$ y $m \neq 1$:** El menor $|M| \neq 0$, por lo que $\text{rg}(A^*) = 3$. Como $\text{rg}(A) = 2 \neq \text{rg}(A^*)$, el sistema es **Incompatible (SI)** (no tiene solución). 2. **Si $m = 0$:** $\text{rg}(A) = 2$ y la matriz ampliada es $A^* = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$. Como la última columna es nula, todos los menores de orden $3$ de $A^*$ serán cero, por tanto $\text{rg}(A^*) = 2$. Al ser $\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) = 2 \lt n$ (número de incógnitas = 3), el sistema es **Compatible Indeterminado (SCI)**. 3. **Si $m = 1$:** La matriz ampliada es $A^* = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$. Se observa que la fila 1 y la fila 3 son iguales, por lo que el determinante de cualquier menor de orden $3$ será cero. Así, $\text{rg}(A^*) = 2$. Al ser $\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) = 2 \lt n$, el sistema es **Compatible Indeterminado (SCI)**. ✅ **Resultado (Discusión):** $$\boxed{\begin{cases} m \in \mathbb{R} \setminus \{0, 1\} & \text{Sistema Incompatible} \\ m = 0 \text{ o } m = 1 & \text{Sistema Compatible Indeterminado} \end{cases}}$$

**b) [1 punto] Resuélvelo para $m = 1$. Para dicho valor de $m$, calcula, si es posible, una solución en la que $z = 2$.** Sustituimos $m = 1$ en el sistema. Como hemos visto, el sistema es Compatible Indeterminado y la tercera ecuación es idéntica a la primera: $$\left\{ \begin{array}{rcl} x + y + z & = & 1 \\ y - z & = & 1 \end{array} \right.$$ Para resolverlo, parametrizamos una de las variables. Sea $z = \lambda$: 1. De la segunda ecuación: $y = 1 + z = 1 + \lambda$ 2. De la primera ecuación: $x = 1 - y - z = 1 - (1 + \lambda) - \lambda = -2\lambda$ La solución general para $m=1$ es: $$\boxed{(x, y, z) = (-2\lambda, 1 + \lambda, \lambda) \quad \text{para } \lambda \in \mathbb{R}}$$

Nos piden encontrar una solución específica donde $z = 2$. Usando la solución parametrizada del paso anterior: $$z = \lambda = 2$$ Sustituimos el valor de $\lambda$ en las expresiones para $x$ e $y$: - $x = -2(2) = -4$ - $y = 1 + 2 = 3$ Comprobamos en las ecuaciones originales con $m=1$: - $x+y+z = -4+3+2 = 1$ (Correcto, $m^2=1$) - $y-z = 3-2 = 1$ (Correcto, $m=1$) - $x+y+z = -4+3+2 = 1$ (Correcto, $m=1$) ✅ **Resultado (Solución particular):** $$\boxed{(x, y, z) = (-4, 3, 2)}$$