Estudio de función exponencial, recta tangente y cálculo de áreas

**a) [0,75 puntos] Determina el punto de la gráfica de $f$ en el que la recta tangente es $y = -2ex$.** La ecuación de la recta tangente dada es $y = -2ex$. Esta recta tiene la forma $y = mx + n$, por lo que su pendiente es: $$m = -2e$$ Sabemos que la pendiente de la recta tangente a la gráfica de $f$ en un punto de abscisa $x_0$ coincide con el valor de la derivada de la función en dicho punto, es decir, $f'(x_0) = m$. Calculamos la derivada de $f(x) = e^{-2x}$ utilizando la regla de la cadena: $$f'(x) = e^{-2x} \cdot (-2) = -2e^{-2x}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que si $f(x) = e^{u(x)}$, su derivada es $f'(x) = u'(x) e^{u(x)}$.

Igualamos la derivada al valor de la pendiente de la recta tangente para encontrar $x_0$: $$-2e^{-2x_0} = -2e$$ Dividimos ambos términos entre $-2$: $$e^{-2x_0} = e^1$$ Al tener la misma base, igualamos los exponentes: $$-2x_0 = 1 \implies x_0 = -\frac{1}{2}$$ El punto de tangencia tiene como abscisa **$x_0 = -1/2$**.

Para hallar la ordenada del punto, sustituimos $x_0$ en la función original $f(x)$: $$y_0 = f\left(-\frac{1}{2}\right) = e^{-2(-1/2)} = e^1 = e$$ Por tanto, el punto de la gráfica buscado es: ✅ **Resultado:** $$\boxed{P\left(-\frac{1}{2}, e\right)}$$

**b) [0,5 puntos] Esboza el recinto limitado por la gráfica de $f$, la recta $y = -2ex$ y el eje de ordenadas.** Para esbozar el recinto, analizamos los elementos que lo delimitan: 1. La curva $f(x) = e^{-2x}$, que es una función exponencial decreciente que pasa por $(0, 1)$ y $(-1/2, e)$. 2. La recta $r: y = -2ex$, que es una recta con pendiente negativa que pasa por el origen $(0, 0)$ y por el punto de tangencia $(-1/2, e)$. 3. El eje de ordenadas, cuya ecuación es $x = 0$. El recinto está comprendido en el intervalo $x \in [-1/2, 0]$. "interactive": { "kind": "desmos", "data": { "expressions": [ { "id": "f", "latex": "f(x) = e^{-2x}", "color": "#2563eb" }, { "id": "r", "latex": "y = -2ex", "color": "#ef4444" }, { "id": "eje", "latex": "x = 0", "lineStyle": "DASHED", "color": "#111827" }, { "id": "area", "latex": "-2ex \\le y \\le e^{-2x} \\left\\{-0.5 \\le x \\le 0 \\right\\}", "color": "#93c5fd" } ], "bounds": { "left": -1, "right": 0.5, "bottom": -0.5, "top": 3 } } }

**c) [1,25 puntos] Calcula el área del recinto descrito en el apartado anterior.** El área del recinto limitado por dos funciones en un intervalo $[a, b]$ se calcula mediante la integral definida de la función superior menos la función inferior. En el intervalo $\left[-\frac{1}{2}, 0\right]$, la función exponencial $f(x) = e^{-2x}$ queda por encima de la recta $y = -2ex$. Por tanto, el área $A$ es: $$A = \int_{-1/2}^{0} [f(x) - (-2ex)] \, dx = \int_{-1/2}^{0} (e^{-2x} + 2ex) \, dx$$ 💡 **Tip:** Comprueba siempre qué función es mayor en el intervalo de integración para que el área resulte positiva.

Calculamos primero la integral indefinida (la primitiva): $$\int (e^{-2x} + 2ex) \, dx = \frac{e^{-2x}}{-2} + 2e \frac{x^2}{2} = -\frac{1}{2}e^{-2x} + ex^2$$ Aplicamos la **Regla de Barrow** en el intervalo $\left[-\frac{1}{2}, 0\right]$: $$A = \left[ -\frac{1}{2}e^{-2x} + ex^2 \right]_{-1/2}^{0}$$ Evaluamos en el límite superior ($x=0$): $$F(0) = -\frac{1}{2}e^{0} + e(0)^2 = -\frac{1}{2} \cdot 1 + 0 = -\frac{1}{2}$$ Evaluamos en el límite inferior ($x=-1/2$): $$F\left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{1}{2}e^{-2(-1/2)} + e\left(-\frac{1}{2}\right)^2 = -\frac{1}{2}e^1 + e\left(\frac{1}{4}\right) = -\frac{1}{2}e + \frac{1}{4}e = -\frac{1}{4}e$$ Finalmente, calculamos la diferencia: $$A = F(0) - F\left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{1}{2} - \left(-\frac{1}{4}e\right) = \frac{e}{4} - \frac{1}{2}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{A = \frac{e-2}{4} \text{ unidades}^2 \approx 0,1796 \text{ u}^2}$$