Parámetros y extremos de una función logarítmica

**a) [1,5 puntos] Halla $a$ y $b$ sabiendo que $f$ tiene extremos relativos en $x = 1$ y en $x = 2$.** Si una función derivable tiene un extremo relativo en un punto $x_0$, se debe cumplir que su derivada primera en dicho punto es cero: $f'(x_0) = 0$. Primero, calculamos la derivada de $f(x) = a \ln(x) + bx^2 + x$: $$f'(x) = a \cdot \frac{1}{x} + 2bx + 1 = \frac{a}{x} + 2bx + 1$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la derivada de $\ln(x)$ es $1/x$ y la de $x^n$ es $n x^{n-1}$.

Como sabemos que hay extremos en $x=1$ y $x=2$, planteamos las siguientes condiciones: 1. Para $x=1$: $f'(1) = 0$ $$\frac{a}{1} + 2b(1) + 1 = 0 \implies a + 2b = -1$$ 2. Para $x=2$: $f'(2) = 0$ $$\frac{a}{2} + 2b(2) + 1 = 0 \implies \frac{a}{2} + 4b = -1$$ Multiplicamos la segunda ecuación por $2$ para facilitar la resolución: $$a + 8b = -2$$ Tenemos el sistema: $$\begin{cases} a + 2b = -1 \\ a + 8b = -2 \end{cases}$$

Restamos la primera ecuación a la segunda para eliminar $a$: $$(a + 8b) - (a + 2b) = -2 - (-1)$$ $$6b = -1 \implies b = -\frac{1}{6}$$ Ahora sustituimos el valor de $b$ en la primera ecuación: $$a + 2\left(-\frac{1}{6}\right) = -1$$ $$a - \frac{1}{3} = -1 \implies a = -1 + \frac{1}{3} = -\frac{2}{3}$$ ✅ **Resultado (valores de los parámetros):** $$\boxed{a = -\frac{2}{3}, \quad b = -\frac{1}{6}}$$

**b) [1 punto] ¿Qué tipo de extremos tiene $f$ en $x = 1$ y en $x = 2$?** Para determinar si son máximos o mínimos, utilizaremos el criterio de la segunda derivada. Primero hallamos $f''(x)$ partiendo de $f'(x) = \frac{a}{x} + 2bx + 1$: $$f''(x) = -\frac{a}{x^2} + 2b$$ Sustituimos los valores hallados $a = -2/3$ y $b = -1/6$: $$f''(x) = -\frac{-2/3}{x^2} + 2\left(-\frac{1}{6}\right) = \frac{2}{3x^2} - \frac{1}{3}$$ Evaluamos en los puntos críticos: - En $x = 1$: $$f''(1) = \frac{2}{3(1)^2} - \frac{1}{3} = \frac{2}{3} - \frac{1}{3} = \frac{1}{3} > 0$$ Como la segunda derivada es positiva, existe un **mínimo relativo** en $x=1$. - En $x = 2$: $$f''(2) = \frac{2}{3(2)^2} - \frac{1}{3} = \frac{2}{12} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6} - \frac{2}{6} = -\frac{1}{6} < 0$$ Como la segunda derivada es negativa, existe un **máximo relativo** en $x=2$. 💡 **Tip:** Si $f''(x_0) > 0$ es un mínimo; si $f''(x_0) < 0$ es un máximo.

Podemos confirmar los resultados analizando el signo de la derivada primera en los intervalos definidos por los extremos relativos en el dominio $(0, +\infty)$: $$f'(x) = \frac{-2/3}{x} - \frac{x}{3} + 1 = \frac{-2 - x^2 + 3x}{3x} = \frac{-(x-1)(x-2)}{3x}$$ $$ \begin{array}{c|ccccc} x & (0,1) & 1 & (1,2) & 2 & (2,+\infty) \\ \hline f'(x) & - & 0 & + & 0 & - \\ \text{Comportamiento} & \searrow & \min & \nearrow & \max & \searrow \end{array} $$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{En } x=1 \text{ hay un mínimo relativo y en } x=2 \text{ hay un máximo relativo.}}$$