Posición relativa y distancia entre dos rectas

**a) [1 punto] Estudia y determina la posición relativa de $r$ y $s$.** En primer lugar, identificamos un punto $P_r$ y un vector director $\vec{v}_r$ de la recta $r$, que viene dada en su forma continua: $$r \equiv \frac{x - (-1)}{2} = \frac{y - 0}{1} = \frac{z - (-1)}{3}$$ De los denominadores y los términos que restan a las variables, obtenemos: - Vector director: $\vec{v}_r = (2, 1, 3)$ - Punto de la recta: $P_r(-1, 0, -1)$ 💡 **Tip:** Recuerda que en la forma continua $\frac{x-a}{v_1} = \frac{y-b}{v_2} = \frac{z-c}{v_3}$, el punto es $(a, b, c)$ y el vector es $(v_1, v_2, v_3)$.

La recta $s$ está definida como la intersección de dos planos. Para hallar su vector director $\vec{v}_s$, realizamos el producto vectorial de los vectores normales de dichos planos $\vec{n}_1 = (2, -3, 0)$ y $\vec{n}_2 = (0, 1, -2)$: $$\vec{v}_s = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2 = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & -3 & 0 \\ 0 & 1 & -2 \end{vmatrix}$$ Resolvemos por Sarrus: $$\vec{v}_s = \mathbf{i}[(-3) \cdot (-2) - 0 \cdot 1] - \mathbf{j}[2 \cdot (-2) - 0 \cdot 0] + \mathbf{k}[2 \cdot 1 - (-3) \cdot 0]$$ $$\vec{v}_s = 6\mathbf{i} + 4\mathbf{j} + 2\mathbf{k} = (6, 4, 2)$$ Para simplificar los cálculos, podemos usar un vector proporcional: **$\vec{v}_s = (3, 2, 1)$**. Para el punto $P_s$, fijamos una coordenada, por ejemplo $y = 1$: - De $y - 2z = -1 \implies 1 - 2z = -1 \implies -2z = -2 \implies z = 1$ - De $2x - 3y = -5 \implies 2x - 3(1) = -5 \implies 2x = -2 \implies x = -1$ El punto obtenido es **$P_s(-1, 1, 1)$**.

Calculamos el vector que une un punto de cada recta: $$\vec{P_r P_s} = P_s - P_r = (-1 - (-1), 1 - 0, 1 - (-1)) = (0, 1, 2)$$ Para determinar la posición relativa, estudiamos la dependencia lineal de los vectores $\vec{v}_r$, $\vec{v}_s$ y $\vec{P_r P_s}$ calculando su determinante: $$\text{det}(\vec{v}_r, \vec{v}_s, \vec{P_r P_s}) = \begin{vmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{vmatrix}$$ Aplicamos la regla de Sarrus: $$\text{det} = [2 \cdot 2 \cdot 2 + 1 \cdot 1 \cdot 0 + 3 \cdot 3 \cdot 1] - [0 \cdot 2 \cdot 3 + 1 \cdot 1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 \cdot 1]$$ $$\text{det} = [8 + 0 + 9] - [0 + 2 + 6] = 17 - 8 = 9$$ Como el determinante es **distinto de cero** ($9 \neq 0$), los tres vectores son linealmente independientes. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Las rectas } r \text{ y } s \text{ se cruzan}}$$

**b) [1,5 puntos] Calcula la distancia entre $r$ y $s$.** La distancia entre dos rectas que se cruzan se calcula como la altura del paralelepípedo definido por los vectores $\vec{v}_r$, $\vec{v}_s$ y $\vec{P_r P_s}$. La fórmula es: $$d(r, s) = \frac{|\text{det}(\vec{v}_r, \vec{v}_s, \vec{P_r P_s})|}{|\vec{v}_r \times \vec{v}_s|}$$ Ya conocemos el valor del determinante del numerador: $|9| = 9$.

Calculamos el producto vectorial $\vec{v}_r \times \vec{v}_s$ para obtener el denominador: $$\vec{v}_r \times \vec{v}_s = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & 1 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \end{vmatrix}$$ Desarrollamos por Sarrus: $$\vec{v}_r \times \vec{v}_s = \mathbf{i}(1 - 6) - \mathbf{j}(2 - 9) + \mathbf{k}(4 - 3)$$ $$\vec{v}_r \times \vec{v}_s = -5\mathbf{i} + 7\mathbf{j} + 1\mathbf{k} = (-5, 7, 1)$$ Ahora calculamos su módulo: $$|\vec{v}_r \times \vec{v}_s| = \sqrt{(-5)^2 + 7^2 + 1^2} = \sqrt{25 + 49 + 1} = \sqrt{75}$$ Podemos simplificar la raíz: $\sqrt{75} = \sqrt{25 \cdot 3} = 5\sqrt{3}$.

Sustituimos los valores en la fórmula de la distancia: $$d(r, s) = \frac{9}{5\sqrt{3}}$$ Racionalizamos multiplicando numerador y denominador por $\sqrt{3}$: $$d(r, s) = \frac{9\sqrt{3}}{5 \cdot 3} = \frac{9\sqrt{3}}{15} = \frac{3\sqrt{3}}{5} \text{ unidades}$$ Si aproximamos el valor: $$d(r, s) \approx 1.039 \text{ u.}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{d(r, s) = \dfrac{3\sqrt{3}}{5} \text{ u.}}$$