Producto de matrices, potencias e inversa

**a) [0,75 puntos] Determina, si existen, los valores de $a, b$ y $c$ para los que las matrices $A$ y $B$ conmutan.** Para que dos matrices $A$ y $B$ conmuten, se debe cumplir que $A \cdot B = B \cdot A$. Procedemos a calcular ambos productos matriciales. Calculamos $A \cdot B$: $$A \cdot B = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & b & c \\ 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ a & b & c \end{pmatrix}$$ Calculamos $B \cdot A$: $$B \cdot A = \begin{pmatrix} a & b & c \\ 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} c & -b & a \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el producto de matrices no es conmutativo en general, por lo que es necesario realizar ambos cálculos por separado.

Igualamos término a término las dos matrices resultantes de los productos anteriores: $$\begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ a & b & c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} c & -b & a \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}$$ De la igualdad de los elementos obtenemos el siguiente sistema: - Primera fila: $-1 = c$, $0 = -b$, $0 = a$. - Segunda fila: $0 = 0$, $-1 = -1$, $0 = 0$ (se cumple siempre). - Tercera fila: $a = 0$, $b = 0$, $c = -1$. Las soluciones obtenidas en todas las posiciones son coherentes entre sí: $$\boxed{a = 0, \quad b = 0, \quad c = -1}$$

**b) [1 punto] Calcula $A^2, A^3, A^{2017}$ y $A^{2018}$.** Comenzamos calculando $A^2$: $$A^2 = A \cdot A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = I$$ Ahora calculamos $A^3$: $$A^3 = A^2 \cdot A = I \cdot A = A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Cuando el cuadrado de una matriz es la identidad ($A^2 = I$), decimos que la matriz es involutiva. Esto simplifica enormemente el cálculo de potencias elevadas. ✅ **Resultados intermedios:** $$\boxed{A^2 = I, \quad A^3 = A}$$

Observamos que las potencias de $A$ siguen un ciclo de orden 2: - Si el exponente $n$ es **par**, $A^n = I$. - Si el exponente $n$ es **impar**, $A^n = A$. Para $A^{2017}$, dado que $2017$ es impar: $$A^{2017} = A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$ Para $A^{2018}$, dado que $2018$ es par: $$A^{2018} = I = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultados finales del apartado b):** $$\boxed{A^{2017} = A, \quad A^{2018} = I}$$

**c) [0,75 puntos] Calcula, si existe, la matriz inversa de $A$.** Podemos resolver este apartado de dos formas. La más directa es utilizar el resultado del apartado b). Sabemos que $A^2 = I$. Por definición de matriz inversa, si existe una matriz $M$ tal que $A \cdot M = M \cdot A = I$, entonces $M = A^{-1}$. Como $A \cdot A = I$, se deduce directamente que: $$A^{-1} = A$$ Alternativamente, comprobamos que es invertible calculando su determinante: $$|A| = \begin{vmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{vmatrix}$$ Desarrollando por Sarrus o por la primera fila: $$|A| = 0 - 0 + 1 \cdot (0 - (-1)) = 1$$ Como $|A| \neq 0$, la matriz inversa existe. 💡 **Tip:** Si en un examen ya has demostrado que $A^2 = I$, no pierdas tiempo calculando la adjunta; usa la definición de inversa directamente. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{A^{-1} = A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}}$$