Determinación de parámetros mediante extremos e integración

El enunciado indica que la función $f(x) = ax \ln(x) - bx$ tiene un extremo relativo en $x = 1$. Para que esto ocurra en una función derivable, su primera derivada en ese punto debe ser igual a cero: $$f'(1) = 0$$ Calculamos primero la derivada general de la función aplicando la regla del producto para el término $ax \ln(x)$: $$f'(x) = (ax)' \cdot \ln(x) + ax \cdot (\ln(x))' - (bx)'$$ $$f'(x) = a \cdot \ln(x) + ax \cdot \frac{1}{x} - b$$ $$f'(x) = a \ln(x) + a - b$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la derivada de un producto es $(u \cdot v)' = u'v + uv'$ y que la derivada de $\ln(x)$ es $1/x$.

Sustituimos $x = 1$ en la expresión de la derivada e igualamos a cero: $$f'(1) = a \ln(1) + a - b = 0$$ Como $\ln(1) = 0$, la ecuación se simplifica a: $$a(0) + a - b = 0 \implies a - b = 0$$ $$a = b$$ Gracias a esta condición, ahora sabemos que la función tiene la forma: $$f(x) = ax \ln(x) - ax = ax(\ln(x) - 1)$$ $$\boxed{a = b}$$

Utilizamos la segunda condición del enunciado: $\int_{1}^{2} f(x) \, dx = 8 \ln(2) - 9$. Sustituimos $b$ por $a$ en la integral: $$\int_{1}^{2} (ax \ln(x) - ax) \, dx = 8 \ln(2) - 9$$ Por la linealidad de la integral, podemos extraer la constante $a$: $$a \int_{1}^{2} (x \ln(x) - x) \, dx = 8 \ln(2) - 9$$ Para resolverla, primero calcularemos la integral indefinida $\int (x \ln(x) - x) \, dx$.

Calculamos $\int x \ln(x) \, dx$ usando el método de **integración por partes**: Elegimos: - $u = \ln(x) \implies du = \frac{1}{x} dx$ - $dv = x \, dx \implies v = \frac{x^2}{2}$ Aplicando la fórmula $\int u \, dv = uv - \int v \, du$: $$\int x \ln(x) \, dx = \frac{x^2}{2} \ln(x) - \int \frac{x^2}{2} \cdot \frac{1}{x} \, dx = \frac{x^2}{2} \ln(x) - \frac{1}{2} \int x \, dx$$ $$\int x \ln(x) \, dx = \frac{x^2}{2} \ln(x) - \frac{x^2}{4}$$ Ahora calculamos la integral completa del paréntesis: $$\int (x \ln(x) - x) \, dx = \left( \frac{x^2}{2} \ln(x) - \frac{x^2}{4} \right) - \frac{x^2}{2} = \frac{x^2}{2} \ln(x) - \frac{3x^2}{4}$$ 💡 **Tip:** La regla mnemotécnica "ALPES" nos ayuda a elegir $u$ (logarítmicas antes que polinómicas).

Aplicamos los límites de integración de $1$ a $2$ a la primitiva hallada: $$a \left[ \frac{x^2}{2} \ln(x) - \frac{3x^2}{4} \right]_{1}^{2} = 8 \ln(2) - 9$$ Evaluamos en los extremos: - Para $x = 2$: $a \left( \frac{4}{2} \ln(2) - \frac{3(4)}{4} \right) = a(2 \ln(2) - 3)$ - Para $x = 1$: $a \left( \frac{1}{2} \ln(1) - \frac{3}{4} \right) = a(0 - 3/4) = -\frac{3a}{4}$ Restamos los valores (Límite superior - Límite inferior): $$a(2 \ln(2) - 3) - \left( -\frac{3a}{4} \right) = 8 \ln(2) - 9$$ $$a \left( 2 \ln(2) - 3 + \frac{3}{4} \right) = 8 \ln(2) - 9$$ $$a \left( 2 \ln(2) - \frac{9}{4} \right) = 8 \ln(2) - 9$$

Para hallar $a$, despejamos en la ecuación resultante: $$a \left( \frac{8 \ln(2) - 9}{4} \right) = 8 \ln(2) - 9$$ Podemos ver claramente que si dividimos ambos lados por $(8 \ln(2) - 9)$, obtenemos: $$\frac{a}{4} = 1 \implies a = 4$$ Como en el primer paso determinamos que $a = b$, entonces: $$b = 4$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{a = 4, \quad b = 4}$$