Cálculo de parámetros en función a trozos con límites y extremos

Para que la función $f$ sea continua en todo su dominio, debe serlo especialmente en el punto de salto $x = 0$. Esto implica que deben coincidir el límite por la izquierda, el límite por la derecha y el valor de la función: $$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0)$$ Calculamos el valor de la función y el límite por la izquierda (rama $x \le 0$): $$f(0) = a(0)^2 + b(0) + c = c$$ $$\lim_{x \to 0^-} (ax^2 + bx + c) = c$$ Ahora calculamos el límite por la derecha (rama $x > 0$): $$\lim_{x \to 0^+} \frac{e^x - e^{-x} - 2x}{x - \text{sen}(x)}$$ Al evaluar $x=0$, obtenemos una indeterminación del tipo $\left[ \frac{0}{0} \right]$, por lo que aplicamos la **Regla de L'Hôpital** derivando numerador y denominador: $$\lim_{x \to 0^+} \frac{e^x + e^{-x} - 2}{1 - \cos(x)} = \left[ \frac{1 + 1 - 2}{1 - 1} \right] = \left[ \frac{0}{0} \right]$$ Aplicamos L'Hôpital por segunda vez: $$\lim_{x \to 0^+} \frac{e^x - e^{-x}}{\text{sen}(x)} = \left[ \frac{1 - 1}{0} \right] = \left[ \frac{0}{0} \right]$$ Aplicamos L'Hôpital por tercera vez: $$\lim_{x \to 0^+} \frac{e^x + e^{-x}}{\cos(x)} = \frac{1 + 1}{1} = 2$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la Regla de L'Hôpital se puede aplicar sucesivamente mientras se mantenga la indeterminación $0/0$ o $\infty/\infty$ y se cumplan las hipótesis del teorema.

Igualamos los límites laterales obtenidos en el paso anterior para garantizar la continuidad: $$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) \implies c = 2$$ ✅ **Resultado parcial:** $$\boxed{c = 2}$$

El enunciado nos da dos condiciones adicionales sobre la derivada en la región $x < 0$. Primero, definimos la derivada de la función para esa rama: Si $x < 0$, entonces $f(x) = ax^2 + bx + c$, por lo que: $$f'(x) = 2ax + b$$ **Condición 1: Máximo relativo en $x = -1$** Si hay un extremo relativo en un punto donde la función es derivable, la primera derivada debe ser cero: $$f'(-1) = 0 \implies 2a(-1) + b = 0 \implies -2a + b = 0 \implies b = 2a$$ **Condición 2: Pendiente de la tangente en $x = -2$ es $2$** La pendiente de la recta tangente en un punto es el valor de la derivada en dicho punto: $$f'(-2) = 2 \implies 2a(-2) + b = 2 \implies -4a + b = 2$$ 💡 **Tip:** Un extremo relativo siempre cumple $f'(x)=0$ si la función es derivable en ese punto. La pendiente de la recta tangente en $x=x_0$ es $m = f'(x_0)$.

Tenemos el sistema: $$\begin{cases} b = 2a \\ -4a + b = 2 \end{cases}$$ Sustituimos la primera ecuación en la segunda: $$-4a + (2a) = 2$$ $$-2a = 2$$ $$a = -1$$ Ahora calculamos $b$: $$b = 2(-1) = -2$$ **Verificación del máximo:** Como $a = -1$, la derivada es $f'(x) = -2x - 2$ y la segunda derivada es $f''(x) = -2$. Al ser $f''(-1) = -2 < 0$, confirmamos que en $x = -1$ hay efectivamente un máximo relativo. $$\begin{array}{c|ccc} x & (-\infty,-1) & -1 & (-1,0)\\ \hline f'(x) & + & 0 & - \end{array}$$ La función crece antes de $x=-1$ y decrece después, confirmando el máximo. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{a = -1, \quad b = -2, \quad c = 2}$$