División de un segmento y triángulo rectángulo en el espacio

**a) [1 punto] Determina los puntos del segmento $AB$ que lo dividen en 3 segmentos de la misma longitud.** Para dividir el segmento $AB$ en tres partes iguales, necesitamos encontrar dos puntos, llamémoslos $P_1$ y $P_2$, que se encuentren a un tercio y a dos tercios de la distancia desde $A$ hacia $B$. Primero calculamos el vector director $\vec{AB}$: $$\vec{AB} = B - A = (-1 - 2, -1 - (-1), 2 - (-2)) = (-3, 0, 4).$$ 💡 **Tip:** El vector que une dos puntos $A$ y $B$ se obtiene restando las coordenadas del origen a las del extremo: $\vec{AB} = (x_B - x_A, y_B - y_A, z_B - z_A)$.

Los puntos buscados se obtienen sumando a las coordenadas de $A$ una fracción del vector $\vec{AB}$. El primer punto $P_1$ estará a $\frac{1}{3}$ de camino: $$P_1 = A + \frac{1}{3}\vec{AB} = (2, -1, -2) + \frac{1}{3}(-3, 0, 4) = (2 - 1, -1 + 0, -2 + 4/3) = (1, -1, -2/3).$$ El segundo punto $P_2$ estará a $\frac{2}{3}$ de camino: $$P_2 = A + \frac{2}{3}\vec{AB} = (2, -1, -2) + \frac{2}{3}(-3, 0, 4) = (2 - 2, -1 + 0, -2 + 8/3) = (0, -1, 2/3).$$ ✅ **Resultado (puntos de división):** $$\boxed{P_1(1, -1, -2/3) \quad \text{y} \quad P_2(0, -1, 2/3)}$$

**b) [1,5 puntos] Determina un punto $C$ de $r$ de forma que el triángulo $ABC$ sea rectángulo en $C$.** Un punto genérico $C$ de la recta $r$ debe satisfacer su ecuación. Expresamos la recta $r$ en forma paramétrica para facilitar los cálculos. La ecuación continua es $x - 1 = \frac{y - 1}{-1} = \frac{z - 1}{2}$. Igualando cada término a un parámetro $\lambda$, obtenemos: $$\begin{cases} x = 1 + \lambda \\ y = 1 - \lambda \\ z = 1 + 2\lambda \end{cases}$$ Cualquier punto $C \in r$ tiene la forma $C(1 + \lambda, 1 - \lambda, 1 + 2\lambda)$. 💡 **Tip:** La forma paramétrica es ideal para buscar puntos específicos sobre una recta que deben cumplir una condición geométrica.

Para que el triángulo $ABC$ sea rectángulo en $C$, los vectores $\vec{CA}$ y $\vec{CB}$ deben ser perpendiculares. Esto implica que su producto escalar es cero: $\vec{CA} \cdot \vec{CB} = 0$. Calculamos los vectores en función de $\lambda$: $$\vec{CA} = A - C = (2 - (1 + \lambda), -1 - (1 - \lambda), -2 - (1 + 2\lambda)) = (1 - \lambda, -2 + \lambda, -3 - 2\lambda)$$ $$\vec{CB} = B - C = (-1 - (1 + \lambda), -1 - (1 - \lambda), 2 - (1 + 2\lambda)) = (-2 - \lambda, -2 + \lambda, 1 - 2\lambda)$$ Planteamos el producto escalar: $$(1 - \lambda)(-2 - \lambda) + (-2 + \lambda)(-2 + \lambda) + (-3 - 2\lambda)(1 - 2\lambda) = 0$$ 💡 **Tip:** Dos vectores $\vec{u}$ y $\vec{v}$ son perpendiculares si y solo si $\vec{u} \cdot \vec{v} = u_1v_1 + u_2v_2 + u_3v_3 = 0$.

Desarrollamos cada término de la ecuación: 1. $(1 - \lambda)(-2 - \lambda) = -2 - \lambda + 2\lambda + \lambda^2 = \lambda^2 + \lambda - 2$ 2. $(-2 + \lambda)^2 = 4 - 4\lambda + \lambda^2 = \lambda^2 - 4\lambda + 4$ 3. $(-3 - 2\lambda)(1 - 2\lambda) = -3 + 6\lambda - 2\lambda + 4\lambda^2 = 4\lambda^2 + 4\lambda - 3$ Sumamos los resultados: $$(\lambda^2 + \lambda - 2) + (\lambda^2 - 4\lambda + 4) + (4\lambda^2 + 4\lambda - 3) = 0$$ $$6\lambda^2 + \lambda - 1 = 0$$ Resolvemos la ecuación de segundo grado: $$\lambda = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(6)(-1)}}{2(6)} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 24}}{12} = \frac{-1 \pm 5}{12}$$ Obtenemos dos posibles valores para $\lambda$: $$\lambda_1 = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}, \quad \lambda_2 = \frac{-6}{12} = -\frac{1}{2}$$ 💡 **Tip:** Si la ecuación cuadrática tiene dos soluciones reales, significa que existen dos puntos en la recta que cumplen la condición.

Sustituimos los valores de $\lambda$ en las coordenadas genéricas de $C(1 + \lambda, 1 - \lambda, 1 + 2\lambda)$. **Para $\lambda_1 = 1/3$:** $$C_1 = (1 + 1/3, 1 - 1/3, 1 + 2/3) = (4/3, 2/3, 5/3)$$ **Para $\lambda_2 = -1/2$:** $$C_2 = (1 - 1/2, 1 + 1/2, 1 - 1) = (1/2, 3/2, 0)$$ ✅ **Resultado (puntos C):** $$\boxed{C_1\left(\frac{4}{3}, \frac{2}{3}, \frac{5}{3}\right) \quad \text{o} \quad C_2\left(\frac{1}{2}, \frac{3}{2}, 0\right)}$$