Discusión y resolución de un sistema de ecuaciones con parámetros

**a) [1,75 puntos] Discute el sistema en función del parámetro $m$.** En primer lugar, escribimos el sistema en forma matricial $A \cdot X = B$, identificando la matriz de coeficientes $A$ y la matriz ampliada $A^*$: $$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & m \\ 1 & m & 1 \\ 1 & 2 & 4 \end{pmatrix}, \quad A^* = \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & m & 1 \\ 1 & m & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 4 & m \end{array} \right)$$ Para discutir el sistema según el parámetro $m$, utilizaremos el **Teorema de Rouché-Capelli**, por lo que debemos calcular el determinante de la matriz $A$ para estudiar su rango. 💡 **Tip:** El Teorema de Rouché-Capelli establece que el sistema es compatible si y solo si $\text{rang}(A) = \text{rang}(A^*)$.

Calculamos el determinante de $A$ mediante la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & 1 & m \\ 1 & m & 1 \\ 1 & 2 & 4 \end{vmatrix} = (1 \cdot m \cdot 4 + 1 \cdot 1 \cdot 1 + 1 \cdot 2 \cdot m) - (1 \cdot m \cdot m + 2 \cdot 1 \cdot 1 + 4 \cdot 1 \cdot 1)$$ $$|A| = (4m + 1 + 2m) - (m^2 + 2 + 4) = 6m + 1 - m^2 - 6 = -m^2 + 6m - 5$$ Igualamos el determinante a cero para encontrar los valores críticos de $m$: $$-m^2 + 6m - 5 = 0 \implies m^2 - 6m + 5 = 0$$ Resolvemos la ecuación de segundo grado: $$m = \frac{-(-6) \pm \sqrt{(-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1} = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 20}}{2} = \frac{6 \pm 4}{2}$$ Obtenemos dos valores: $$m_1 = \frac{10}{2} = 5, \quad m_2 = \frac{2}{2} = 1$$ 💡 **Tip:** Los valores que anulan el determinante son los que cambian el rango de la matriz de coeficientes.

Analizamos los rangos de $A$ y $A^*$ según los valores de $m$: **Caso 1: $m \neq 1$ y $m \neq 5$** Si $m \neq 1$ y $m \neq 5$, entonces $|A| \neq 0$. Por tanto: $$\text{rang}(A) = 3 = \text{rang}(A^*) = \text{nº de incógnitas}$$ Según el Teorema de Rouché-Capelli, el sistema es **Compatible Determinado (SCD)**, con una solución única. **Caso 2: $m = 1$** Si $m = 1$, la matriz ampliada es: $$A^* = \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 4 & 1 \end{array} \right)$$ Observamos que las dos primeras filas son idénticas. El determinante de la submatriz de orden 2 formada por las dos últimas filas y las dos primeras columnas es: $$\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = 2 - 1 = 1 \neq 0 \implies \text{rang}(A) = 2$$ Como la primera y segunda fila de $A^*$ son iguales, al calcular cualquier determinante de orden 3 que incluya la columna de términos independientes, también dará 0. Así, $\text{rang}(A^*) = 2$. Como $\text{rang}(A) = \text{rang}(A^*) = 2 \lt 3$, el sistema es **Compatible Indeterminado (SCI)**, con infinitas soluciones. **Caso 3: $m = 5$** Si $m = 5$, la matriz ampliada es: $$A^* = \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 5 & 1 \\ 1 & 5 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 4 & 5 \end{array} \right)$$ Sabemos que $|A|=0$, por lo que $\text{rang}(A) \lt 3$. El menor $\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 5 \end{vmatrix} = 5-1=4 \neq 0$, por lo que $\text{rang}(A) = 2$. Estudiamos el rango de $A^*$ con la columna de términos independientes: $$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 5 & 1 \\ 1 & 2 & 5 \end{vmatrix} = (25 + 2 + 1) - (5 + 2 + 5) = 28 - 12 = 16 \neq 0 \implies \text{rang}(A^*) = 3$$ Como $\text{rang}(A) \neq \text{rang}(A^*)$, el sistema es **Incompatible (SI)**, no tiene solución. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\begin{cases} m \in \mathbb{R} \setminus \{1, 5\}: \text{SCD} \\ m = 1: \text{SCI} \\ m = 5: \text{SI} \end{cases}}$$

**b) [0,75 puntos] Si es posible, resuelve el sistema para $m = 1$.** Como hemos visto en el apartado anterior, para $m = 1$ el sistema es **Compatible Indeterminado**. El sistema queda: $$\begin{cases} x + y + z = 1 \\ x + y + z = 1 \\ x + 2y + 4z = 1 \end{cases}$$ Eliminamos la ecuación redundante y nos quedamos con el sistema de 2 ecuaciones y 3 incógnitas: $$\begin{cases} x + y + z = 1 \\ x + 2y + 4z = 1 \end{cases}$$ Para resolverlo, tomamos $z$ como parámetro, $z = \lambda$ con $\lambda \in \mathbb{R}$: $$\begin{cases} x + y = 1 - \lambda \\ x + 2y = 1 - 4\lambda \end{cases}$$ Restamos la primera ecuación a la segunda para eliminar $x$: $$(x + 2y) - (x + y) = (1 - 4\lambda) - (1 - \lambda)$$ $$y = -3\lambda$$ Sustituimos $y$ en la primera ecuación: $$x + (-3\lambda) = 1 - \lambda \implies x = 1 - \lambda + 3\lambda = 1 + 2\lambda$$ 💡 **Tip:** En un SCI con rango 2 y 3 incógnitas, la solución siempre dependerá de un parámetro ($3 - 2 = 1$ parámetro). ✅ **Resultado:** $$\boxed{(x, y, z) = (1 + 2\lambda, -3\lambda, \lambda) \text{ con } \lambda \in \mathbb{R}}$$