Integral por partes y cálculo de primitiva

**a) [1,75 puntos] Calcula $\int f(x) \, dx$** Para calcular la integral indefinida de $f(x) = x \cos \left( \frac{x}{2} \right)$, observamos que se trata de un producto de un polinomio por una función trigonométrica. Utilizaremos el método de **integración por partes**. Elegimos las partes según la regla ALPES: - $u = x \implies du = dx$ - $dv = \cos\left(\frac{x}{2}\right) dx \implies v = \int \cos\left(\frac{x}{2}\right) dx$ 💡 **Tip:** Recuerda la fórmula de integración por partes: $\int u \, dv = uv - \int v \, du$. Una regla común para elegir $u$ es ALPES (Arcos, Logaritmos, Polinomios, Exponenciales, Senos/Cosenos).

Calculamos $v$ integrando $dv$: $$v = \int \cos\left(\frac{x}{2}\right) dx$$ Esta es una integral casi inmediata del tipo $\int \cos(ax) dx = \frac{1}{a}\sin(ax)$. En este caso, $a = \frac{1}{2}$: $$v = \frac{1}{1/2} \sin\left(\frac{x}{2}\right) = 2 \sin\left(\frac{x}{2}\right).$$ Ahora aplicamos la fórmula de integración por partes: $$\int x \cos\left(\frac{x}{2}\right) dx = x \cdot 2 \sin\left(\frac{x}{2}\right) - \int 2 \sin\left(\frac{x}{2}\right) dx.$$ $$\int x \cos\left(\frac{x}{2}\right) dx = 2x \sin\left(\frac{x}{2}\right) - 2 \int \sin\left(\frac{x}{2}\right) dx.$$

Resolvemos la integral de la función seno: $$\int \sin\left(\frac{x}{2}\right) dx = -\frac{1}{1/2} \cos\left(\frac{x}{2}\right) = -2 \cos\left(\frac{x}{2}\right).$$ Sustituimos este resultado en la expresión anterior: $$\int x \cos\left(\frac{x}{2}\right) dx = 2x \sin\left(\frac{x}{2}\right) - 2 \left[ -2 \cos\left(\frac{x}{2}\right) \right] + C$$ $$\int x \cos\left(\frac{x}{2}\right) dx = 2x \sin\left(\frac{x}{2}\right) + 4 \cos\left(\frac{x}{2}\right) + C$$ ✅ **Resultado (apartado a):** $$\boxed{\int f(x) \, dx = 2x \sin\left(\frac{x}{2}\right) + 4 \cos\left(\frac{x}{2}\right) + C}$$

**b) [0,75 puntos] Encuentra la primitiva de $f$ cuya gráfica pasa por el punto $(0, 1)$.** Llamamos $F(x)$ a la familia de primitivas hallada en el apartado anterior: $$F(x) = 2x \sin\left(\frac{x}{2}\right) + 4 \cos\left(\frac{x}{2}\right) + C$$ Se nos indica que la gráfica pasa por el punto $(0, 1)$, lo que significa que $F(0) = 1$. Sustituimos $x=0$ en la expresión: $$F(0) = 2(0) \sin\left(\frac{0}{2}\right) + 4 \cos\left(\frac{0}{2}\right) + C = 1$$ $$0 \cdot 0 + 4 \cdot \cos(0) + C = 1$$ Como $\cos(0) = 1$: $$4(1) + C = 1 \implies 4 + C = 1 \implies C = 1 - 4 = -3.$$ Sustituimos el valor de $C$ en la expresión de $F(x)$. 💡 **Tip:** El valor de la constante $C$ se determina siempre mediante una condición inicial o un punto de paso dado en el enunciado. ✅ **Resultado (apartado b):** $$\boxed{F(x) = 2x \sin\left(\frac{x}{2}\right) + 4 \cos\left(\frac{x}{2}\right) - 3}$$