Estudio completo de una función racional con exponencial

**a) [0,75 puntos] Estudia y determina las asíntotas de la gráfica de $f$.** Primero, analizamos el dominio de la función. El enunciado indica que $x \neq 1$, por lo que el dominio es $D = \mathbb{R} \setminus \{1\}$. El punto $x=1$ es un candidato a asíntota vertical. Calculamos los límites laterales en $x=1$: $$\lim_{x \to 1^-} \frac{e^x}{x-1} = \frac{e^1}{0^-} = -\infty$$ $$\lim_{x \to 1^+} \frac{e^x}{x-1} = \frac{e^1}{0^+} = +\infty$$ Como al menos uno de los límites laterales es infinito, existe una asíntota vertical. 💡 **Tip:** Para encontrar asíntotas verticales, busca los valores que anulan el denominador y comprueba si el límite de la función en esos puntos es infinito. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Hay una asíntota vertical en } x = 1}$$

Estudiamos el comportamiento en el infinito: **1. Cuando $x \to +\infty$:** $$\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x-1} = \left[ \frac{\infty}{\infty} \right]$$ Aplicamos la **regla de L'Hôpital**: $$\lim_{x \to +\infty} \frac{(e^x)'}{(x-1)'} = \lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{1} = +\infty$$ No hay asíntota horizontal por la derecha. Tampoco hay oblicua porque la exponencial crece mucho más rápido que cualquier polinomio (el límite de $f(x)/x$ también sería $+\infty$). **2. Cuando $x \to -\infty$:** $$\lim_{x \to -\infty} \frac{e^x}{x-1} = \frac{0}{-\infty} = 0$$ Esto indica que hay una asíntota horizontal por la izquierda. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{A. Horizontal: } y = 0 \text{ (sólo cuando } x \to -\infty\text{). No hay A. Oblicuas.}}$$

**b) [1 punto] Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de $f$ y halla sus máximos y mínimos relativos (puntos en los que se obtienen y valores que alcanza la función).** Para estudiar la monotonía, calculamos la primera derivada $f'(x)$ usando la regla del cociente: $$f'(x) = \frac{(e^x)' \cdot (x-1) - e^x \cdot (x-1)'}{(x-1)^2} = \frac{e^x(x-1) - e^x \cdot 1}{(x-1)^2}$$ Simplificamos factorizando $e^x$: $$f'(x) = \frac{e^x(x-1-1)}{(x-1)^2} = \frac{e^x(x-2)}{(x-1)^2}$$ Igualamos la derivada a cero para encontrar los puntos críticos: $$\frac{e^x(x-2)}{(x-1)^2} = 0 \implies e^x(x-2) = 0$$ Como $e^x$ siempre es positivo, la única solución es $x - 2 = 0$, es decir, **$x = 2$**. Estudiamos el signo de $f'(x)$ en los intervalos definidos por el dominio y el punto crítico: $$\begin{array}{c|ccccc} x & (-\infty, 1) & 1 & (1, 2) & 2 & (2, +\infty) \\ \hline f'(x) & - & \nexists & - & 0 & + \\ \text{Función} & \searrow & \nexists & \searrow & \text{Mín} & \nearrow \end{array}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el denominador $(x-1)^2$ siempre es positivo en el dominio, por lo que el signo de $f'(x)$ depende únicamente de $(x-2)$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\begin{aligned} & \text{Decreciente: } (-\infty, 1) \cup (1, 2) \\ & \text{Creciente: } (2, +\infty) \end{aligned}}$$

A partir de la tabla anterior, observamos que en $x=2$ la función pasa de decrecer a crecer, por lo que hay un **mínimo relativo**. Calculamos la ordenada del punto sustituyendo en $f(x)$: $$f(2) = \frac{e^2}{2-1} = e^2 \approx 7,389$$ No existen máximos relativos ya que la derivada no cambia de signo de positivo a negativo en ningún punto del dominio. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Mínimo relativo en } (2, e^2). \text{ No hay máximos relativos.}}$$

**c) [0,75 puntos] Esboza la gráfica de $f$ indicando sus puntos de corte con los ejes coordenados.** **Puntos de corte:** - **Eje Y ($x=0$):** $f(0) = \frac{e^0}{0-1} = \frac{1}{-1} = -1$. Punto: **$(0, -1)$**. - **Eje X ($f(x)=0$):** $\frac{e^x}{x-1} = 0 \implies e^x = 0$. Esta ecuación no tiene solución real (la exponencial es siempre positiva). No corta al eje $X$. Con toda la información recopilada (asíntotas, monotonía, mínimos y cortes), podemos realizar el esbozo. ✅ **Gráfica:**