Posición relativa y perpendicular común de dos rectas

**a) [1 punto] Estudia y determina la posición relativa de $r$ y $s$.** Primero, obtenemos un punto $P_r$ y un vector director $\vec{v}_r$ de la recta $r$. La recta viene dada como intersección de dos planos: $$r \equiv \begin{cases} x + y - z - 4 = 0 \\ x + 2y - 7 = 0 \end{cases}$$ Para el vector director, realizamos el producto vectorial de los vectores normales a los planos: $$\vec{v}_r = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 1 & -1 \\ 1 & 2 & 0 \end{vmatrix} = \mathbf{i} \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 0 \end{vmatrix} - \mathbf{j} \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} + \mathbf{k} \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix}$$ $$\vec{v}_r = 2\mathbf{i} - \mathbf{j} + \mathbf{k} = (2, -1, 1).$$ Para el punto $P_r$, fijamos una coordenada, por ejemplo $y = 0$: $$x + 2(0) = 7 \implies x = 7$$ $$7 + 0 - z - 4 = 0 \implies z = 3$$ Obtenemos el punto $P_r(7, 0, 3)$. 💡 **Tip:** El vector director de una recta dada por dos planos es siempre el producto vectorial de sus vectores normales.

La recta $s$ está definida por las ecuaciones $x = 2$ e $y = -3$. Podemos escribirla fácilmente en forma paramétrica: $$s \equiv \begin{cases} x = 2 \\ y = -3 \\ z = \lambda \end{cases}$$ De aquí extraemos directamente: - Un vector director: $\vec{v}_s = (0, 0, 1)$. - Un punto: $P_s(2, -3, 0)$. 💡 **Tip:** Si una recta tiene dos coordenadas fijas, su vector director solo tiene componente en la variable libre.

Para determinar la posición relativa, analizamos la dependencia lineal de los vectores $\vec{v}_r$, $\vec{v}_s$ y el vector que une ambos puntos $\vec{P_rP_s}$. Calculamos $\vec{P_rP_s} = P_s - P_r = (2-7, -3-0, 0-3) = (-5, -3, -3)$. Estudiamos el determinante de la matriz formada por los tres vectores: $$\det(\vec{v}_r, \vec{v}_s, \vec{P_rP_s}) = \begin{vmatrix} 2 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ -5 & -3 & -3 \end{vmatrix}$$ Desarrollamos por la segunda fila (que tiene dos ceros): $$\det = -1 \cdot \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ -5 & -3 \end{vmatrix} = -1 \cdot [2(-3) - (-1)(-5)] = -1 \cdot (-6 - 5) = 11.$$ Como el determinante es distinto de cero ($11 \neq 0$), los tres vectores son linealmente independientes. Esto significa que las rectas no son paralelas ni se cortan en un punto. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Las rectas } r \text{ y } s \text{ se cruzan en el espacio.}}$$

**b) [1,5 puntos] Determina la recta perpendicular común a $r$ y a $s$.** La recta perpendicular común, llamémosla $t$, debe tener un vector director $\vec{v}_t$ que sea perpendicular a la vez a $\vec{v}_r$ y a $\vec{v}_s$. Lo calculamos mediante el producto vectorial: $$\vec{v}_t = \vec{v}_r \times \vec{v}_s = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(-1) - \mathbf{j}(2) + \mathbf{k}(0) = (-1, -2, 0).$$ Para facilitar los cálculos, podemos usar el vector proporcional **$\vec{v}_t = (1, 2, 0)$**. 💡 **Tip:** La dirección de la mínima distancia (perpendicular común) entre dos rectas que se cruzan siempre es el producto vectorial de sus direcciones.

La recta $t$ se puede definir como la intersección de dos planos: 1. Plano $\pi_1$: contiene a $r$ y al vector $\vec{v}_t$. 2. Plano $\pi_2$: contiene a $s$ y al vector $\vec{v}_t$. **Plano $\pi_1$:** Pasa por $P_r(7, 0, 3)$ con vectores $\vec{v}_r(2, -1, 1)$ y $\vec{v}_t(1, 2, 0)$. $$\begin{vmatrix} x-7 & y-0 & z-3 \\ 2 & -1 & 1 \\ 1 & 2 & 0 \end{vmatrix} = 0 \implies (x-7)(-2) - y(-1) + (z-3)(4 - (-1)) = 0$$ $$-2x + 14 + y + 5z - 15 = 0 \implies -2x + y + 5z - 1 = 0 \implies 2x - y - 5z + 1 = 0.$$ **Plano $\pi_2$:** Pasa por $P_s(2, -3, 0)$ con vectores $\vec{v}_s(0, 0, 1)$ y $\vec{v}_t(1, 2, 0)$. $$\begin{vmatrix} x-2 & y+3 & z-0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0 \end{vmatrix} = 0 \implies (x-2)(-2) - (y+3)(-1) + z(0) = 0$$ $$-2x + 4 + y + 3 = 0 \implies -2x + y + 7 = 0 \implies 2x - y - 7 = 0.$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{t \equiv \begin{cases} 2x - y - 5z + 1 = 0 \\ 2x - y - 7 = 0 \end{cases}}$$