Potencia de matrices y resolución de ecuaciones matriciales

**a) [1 punto] Calcula $A^{2018}$.** Para calcular una potencia elevada de una matriz, primero calculamos las primeras potencias ($A^2, A^3, ...$) para intentar identificar un patrón o ley de recurrencia. Calculamos $A^2$: $$A^2 = A \cdot A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$ Calculamos $A^3$: $$A^3 = A^2 \cdot A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 3 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** En ejercicios de potencias de matrices, observa qué elementos cambian y cuáles permanecen constantes. Aquí, solo cambian los elementos $a_{12}$ y $a_{13}$.

Observando los resultados anteriores: - $A^1 = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ - $A^2 = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ - $A^3 = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 3 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ Podemos inducir que la expresión general para $A^n$ es: $$A^n = \begin{pmatrix} 1 & n & n \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$ Por tanto, para $n = 2018$: $$\boxed{A^{2018} = \begin{pmatrix} 1 & 2018 & 2018 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}}$$

**b) [1,5 puntos] Determina, si existe, la matriz $X$ que verifica $A(X + 2I) = BC$ donde $I$ es la matriz identidad.** Primero, calculamos el producto $BC$. La matriz $B$ es de dimensión $3 \times 1$ y la matriz $C$ es $1 \times 3$, por lo que el resultado será una matriz de dimensión $3 \times 3$: $$BC = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\cdot 1 & 0\cdot 1 & 0\cdot 2 \\ 1\cdot 1 & 1\cdot 1 & 1\cdot 2 \\ -1\cdot 1 & -1\cdot 1 & -1\cdot 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 2 \\ -1 & -1 & -2 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para multiplicar matrices, el número de columnas de la primera debe ser igual al número de filas de la segunda. El elemento $(i,j)$ es el producto de la fila $i$ por la columna $j$.

Para despejar $X$ de la ecuación $A(X + 2I) = BC$, multiplicamos por la izquierda por $A^{-1}$, siempre que esta exista: $$A^{-1}A(X + 2I) = A^{-1}BC \implies I(X + 2I) = A^{-1}BC \implies X + 2I = A^{-1}BC$$ $$X = A^{-1}BC - 2I$$ Comprobamos si existe $A^{-1}$ calculando el determinante de $A$: $$\det(A) = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1$$ Como $\det(A) \neq 0$, la matriz $A$ es invertible y la matriz $X$ existe. Calculamos $A^{-1}$ usando la fórmula de la potencia $A^n$ obtenida en el apartado anterior para $n = -1$: $$A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -1 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$ (También se puede calcular mediante el método de Gauss-Jordan o por adjuntos). 💡 **Tip:** Al despejar en ecuaciones matriciales, el orden es crítico. Como $A$ está a la izquierda de $(X+2I)$, multiplicamos por $A^{-1}$ por la izquierda en ambos miembros.

Sustituimos los valores conocidos en la expresión $X = A^{-1}BC - 2I$: Calculamos primero $A^{-1}BC$: $$A^{-1}BC = \begin{pmatrix} 1 & -1 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 2 \\ -1 & -1 & -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0-1+1 & 0-1+1 & 0-2+2 \\ 0+1+0 & 0+1+0 & 0+2+0 \\ 0+0-1 & 0+0-1 & 0+0-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 2 \\ -1 & -1 & -2 \end{pmatrix}$$ Finalmente, restamos $2I$: $$X = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 2 \\ -1 & -1 & -2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 2 \\ -1 & -1 & -4 \end{pmatrix}$$ $$\boxed{X = \begin{pmatrix} -2 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 2 \\ -1 & -1 & -4 \end{pmatrix}}$$