Determinación de una función a partir de su segunda derivada y una recta tangente

A partir de la ecuación de la recta tangente $y = x + 2$ en el punto de abscisa $x = 2$, podemos extraer dos condiciones fundamentales para la función $f(x)$: 1. **La pendiente de la recta tangente:** La pendiente de la recta $y = 1x + 2$ es $m = 1$. Dado que la derivada en un punto es igual a la pendiente de la recta tangente en dicho punto, tenemos: $$f'(2) = 1$$ 2. **El punto de tangencia:** En el punto de abscisa $x = 2$, la función $f$ y la recta tangente comparten el mismo valor de ordenada ($y$). Sustituimos $x = 2$ en la ecuación de la recta: $$y = 2 + 2 = 4 \implies f(2) = 4$$ 💡 **Tip:** Recuerda que si la recta tangente en $x=a$ es $y=mx+n$, entonces $f'(a)=m$ y $f(a)=m\cdot a+n$.

Sabemos que $f'(x)$ es la primitiva de la segunda derivada $f''(x)$. Por tanto: $$f'(x) = \int f''(x) \, dx = \int \frac{1}{(x-1)^2} \, dx$$ Para resolver esta integral, la expresamos como una potencia: $$f'(x) = \int (x-1)^{-2} \, dx = \frac{(x-1)^{-2+1}}{-2+1} + C_1 = \frac{(x-1)^{-1}}{-1} + C_1$$ $$f'(x) = -\frac{1}{x-1} + C_1$$ 💡 **Tip:** Para integrar potencias del tipo $(x+a)^n$, usamos la fórmula $\int (x+a)^n dx = \frac{(x+a)^{n+1}}{n+1} + C$ siempre que $n \neq -1$.

Utilizamos la condición $f'(2) = 1$ obtenida en el primer paso para hallar el valor de $C_1$: $$f'(2) = -\frac{1}{2-1} + C_1 = 1$$ $$-1 + C_1 = 1 \implies C_1 = 2$$ Por lo tanto, la expresión de la primera derivada es: $$\boxed{f'(x) = -\frac{1}{x-1} + 2}$$

Ahora integramos la primera derivada para obtener $f(x)$: $$f(x) = \int f'(x) \, dx = \int \left( -\frac{1}{x-1} + 2 \right) \, dx$$ Resolvemos la integral término a término: $$f(x) = -\ln|x-1| + 2x + C_2$$ Como el dominio de la función es $(1, +\infty)$, el valor $x-1$ siempre será positivo, por lo que podemos prescindir del valor absoluto: $$f(x) = -\ln(x-1) + 2x + C_2$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $\int \frac{1}{x+a} dx = \ln|x+a| + C$.

Utilizamos la condición $f(2) = 4$ para hallar $C_2$: $$f(2) = -\ln(2-1) + 2(2) + C_2 = 4$$ $$-\ln(1) + 4 + C_2 = 4$$ $$0 + 4 + C_2 = 4 \implies C_2 = 0$$ Sustituyendo el valor de $C_2$ en la expresión general, obtenemos la función buscada. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{f(x) = -\ln(x-1) + 2x}$$