Optimización del área de la sección de una canaleta

**a) [0,25 puntos] Halla la altura de la canaleta en función de $x$ (ver la figura).** Si observamos la sección de la canaleta, los costados inclinados forman un triángulo rectángulo con la altura $h$ y la proyección horizontal $x$. Dado que la longitud del costado es de $10\text{ cm}$ (la hipotenusa), aplicamos el **Teorema de Pitágoras**: $$h^2 + x^2 = 10^2$$ $$h^2 = 100 - x^2$$ $$h = \sqrt{100 - x^2}$$ Como la altura debe ser positiva y el valor de $x$ no puede superar la longitud del costado, el dominio de esta función es $x \in [0, 10)$. 💡 **Tip:** Recuerda que en un triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa: $a^2 + b^2 = c^2$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{h(x) = \sqrt{100 - x^2}}$$

**b) [0,75 puntos] Halla el área de la sección de la canaleta en función de $x$.** La sección de la canaleta es un **trapecio isósceles**. La fórmula del área de un trapecio es: $$A = \frac{B + b}{2} \cdot h$$ Donde: - La base menor es $b = 10\text{ cm}$. - La base mayor es $B = 10 + x + x = 10 + 2x$. - La altura es $h = \sqrt{100 - x^2}$. Sustituimos en la fórmula: $$A(x) = \frac{(10 + 2x) + 10}{2} \cdot \sqrt{100 - x^2}$$ $$A(x) = \frac{20 + 2x}{2} \cdot \sqrt{100 - x^2}$$ $$A(x) = (10 + x) \cdot \sqrt{100 - x^2}$$ 💡 **Tip:** También podrías ver el área como la suma del rectángulo central ($10 \cdot h$) y los dos triángulos laterales ($2 \cdot \frac{x \cdot h}{2} = x \cdot h$), lo que da $(10 + x)h$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{A(x) = (10 + x)\sqrt{100 - x^2}}$$

**c) [1,5 puntos] Encuentra el valor de $x$ que hace máximo dicho área.** Para maximizar el área, derivamos $A(x)$ respecto a $x$ usando la regla del producto: $$A'(x) = 1 \cdot \sqrt{100 - x^2} + (10 + x) \cdot \frac{1}{2\sqrt{100 - x^2}} \cdot (-2x)$$ Simplificamos la expresión: $$A'(x) = \sqrt{100 - x^2} - \frac{x(10 + x)}{\sqrt{100 - x^2}}$$ Ponemos común denominador: $$A'(x) = \frac{(\sqrt{100 - x^2})^2 - (10x + x^2)}{\sqrt{100 - x^2}}$$ $$A'(x) = \frac{100 - x^2 - 10x - x^2}{\sqrt{100 - x^2}} = \frac{-2x^2 - 10x + 100}{\sqrt{100 - x^2}}$$ 💡 **Tip:** Para derivar $\sqrt{f(x)}$, usa la regla $\frac{f'(x)}{2\sqrt{f(x)}}$. Aquí $f(x) = 100 - x^2$, por lo que $f'(x) = -2x$.

Igualamos la derivada a cero para encontrar los puntos críticos: $$A'(x) = 0 \implies -2x^2 - 10x + 100 = 0$$ Dividimos toda la ecuación entre $-2$ para simplificar: $$x^2 + 5x - 50 = 0$$ Resolvemos la ecuación de segundo grado: $$x = \frac{-5 \pm \sqrt{5^2 - 4(1)(-50)}}{2} = \frac{-5 \pm \sqrt{25 + 200}}{2} = \frac{-5 \pm \sqrt{225}}{2} = \frac{-5 \pm 15}{2}$$ Obtenemos dos soluciones: - $x_1 = \frac{10}{2} = 5$ - $x_2 = \frac{-20}{2} = -10$ Dado que $x$ representa una longitud física en nuestro problema, descartamos $x = -10$. Por tanto, el único punto crítico válido es **$x = 5$**.

Analizamos el signo de $A'(x)$ para confirmar que en $x = 5$ hay un máximo relativo. El denominador $\sqrt{100-x^2}$ siempre es positivo en el dominio $(0, 10)$, por lo que el signo depende del numerador $-2x^2 - 10x + 100$. $$\begin{array}{c|ccc} x & (0, 5) & 5 & (5, 10) \\\hline A'(x) & + & 0 & - \\\hline A(x) & \text{Creciente } \nearrow & \text{Máximo} & \text{Decreciente } \searrow \end{array}$$ - Para $x=1$, $A'(1) = \frac{100-10-2}{+} > 0$. - Para $x=6$, $A'(6) = \frac{100-60-72}{+} < 0$. Como la función pasa de crecer a decrecer en $x = 5$, se confirma que existe un **máximo relativo**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{x = 5 \text{ cm}}$$