Posición relativa de rectas y plano que las contiene

**a) [1 punto] Determina $m$ para que $r$ y $s$ sean paralelas.** En primer lugar, extraemos un punto y un vector director de cada recta: Para la recta $r$ (en su forma continua $x-x_0/a = y-y_0/b = z-z_0/c$): - Punto $P_r = (2, 2, 0)$ - Vector director $\vec{v_r} = (1, 1, 1)$ Para la recta $s$ (en su forma paramétrica): - Punto $P_s = (4, 4, 0)$ - Vector director $\vec{v_s} = (1, 1, m)$ 💡 **Tip:** Recuerda que en la forma continua $x-2=y-2=z$, los denominadores implícitos son $1$, lo que nos da el vector director $(1, 1, 1)$.

Para que dos rectas sean paralelas, sus vectores directores deben ser proporcionales, es decir, existe un escalar $k$ tal que $\vec{v_s} = k \cdot \vec{v_r}$. Comparando las coordenadas: $$(1, 1, m) = k(1, 1, 1)$$ Esto nos da el sistema: $$\begin{cases} 1 = k \\ 1 = k \\ m = k \end{cases}$$ De las dos primeras ecuaciones obtenemos que $k = 1$. Sustituyendo en la tercera: $$m = 1$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{m = 1}$$

**b) [0,5 puntos] Halla, si existe, un valor de $m$ para el que ambas rectas sean la misma.** Para que dos rectas sean la misma (coincidentes), deben ser paralelas y, además, compartir al menos un punto. Del apartado anterior, sabemos que son paralelas únicamente si $m = 1$. Comprobamos si, para $m = 1$, el punto $P_s(4, 4, 0)$ de la recta $s$ pertenece a la recta $r$. Sustituimos las coordenadas de $P_s$ en la ecuación de $r \equiv x - 2 = y - 2 = z$: $$4 - 2 = 4 - 2 = 0$$ $$2 = 2 = 0$$ Como $2 \neq 0$, la igualdad no se cumple. Por tanto, el punto $P_s$ no pertenece a $r$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{No existe ningún valor de } m \text{ para el que las rectas sean coincidentes.}}$$

**c) [1 punto] Para $m = 1$, calcula la ecuación del plano que contiene a $r$ y a $s$.** Para $m=1$, las rectas son paralelas. Un plano $\pi$ que contenga a ambas vendrá determinado por: 1. Un punto de una de las rectas, por ejemplo $P_r(2, 2, 0)$. 2. El vector director de las rectas, $\vec{v_r} = (1, 1, 1)$. 3. Un segundo vector director obtenido a partir de los puntos de ambas rectas: $\vec{u} = \vec{P_r P_s}$. Calculamos el vector $\vec{u}$: $$\vec{u} = P_s - P_r = (4 - 2, 4 - 2, 0 - 0) = (2, 2, 0)$$ 💡 **Tip:** Cuando las rectas son paralelas, no podemos usar sus dos vectores directores (porque son el mismo). Necesitamos usar el vector que une un punto de cada recta para obtener la dirección que define el plano.

La ecuación del plano se obtiene igualando a cero el determinante formado por un punto genérico $X(x, y, z)$ y los vectores hallados: $$\begin{vmatrix} x - 2 & y - 2 & z - 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 0 \end{vmatrix} = 0$$ Desarrollamos el determinante por la primera fila: $$(x - 2) \cdot \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 0 \end{vmatrix} - (y - 2) \cdot \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 0 \end{vmatrix} + z \cdot \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 2 \end{vmatrix} = 0$$ Calculamos los determinantes $2 \times 2$: - $\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 0 \end{vmatrix} = 1 \cdot 0 - 2 \cdot 1 = -2$ - $\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 2 \end{vmatrix} = 1 \cdot 2 - 2 \cdot 1 = 0$ Sustituimos: $$(x - 2)(-2) - (y - 2)(-2) + z(0) = 0$$ $$-2x + 4 + 2y - 4 = 0$$ $$-2x + 2y = 0$$ Simplificando la ecuación dividiendo por $-2$: $$x - y = 0$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{x - y = 0}$$