Resolución de una ecuación matricial

Para determinar la matriz $X$ en la ecuación $A^2X - BA + X = CD$, primero intentaremos simplificar la expresión factorizando $X$ o calculando las potencias de las matrices involucradas. Observamos que $X$ aparece en dos sumandos del miembro izquierdo. Podemos sacar factor común por la derecha: $$(A^2 + I)X - BA = CD \implies (A^2 + I)X = CD + BA.$$ Donde $I$ es la matriz identidad de orden 3. Antes de proceder a calcular la inversa de $(A^2 + I)$, es muy útil calcular $A^2$ por si el resultado simplifica notablemente la ecuación. 💡 **Tip:** En ecuaciones matriciales del tipo $MX + NX = P$, recuerda que puedes sacar factor común $X$ por la derecha: $(M+N)X = P$.

Calculamos el cuadrado de la matriz $A$: $$A^2 = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & -1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & -1 & 0 \end{pmatrix}$$ Realizamos el producto fila por columna: - Fila 1: $(-1)(-1) + 0 + 0 = 1$; $(-1)0 + 0 + 0 = 0$; $(-1)0 + 0 + 0 = 0$. - Fila 2: $0(-1) + 0 + (-1)0 = 0$; $0(0) + 0(0) + (-1)(-1) = 1$; $0(0) + 0(-1) + (-1)0 = 0$. - Fila 3: $0(-1) + (-1)0 + 0 = 0$; $0(0) + (-1)0 + 0(-1) = 0$; $0(0) + (-1)(-1) + 0 = 1$. Obtenemos: $$A^2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = I.$$ Como $A^2 = I$, la ecuación original $A^2X - BA + X = CD$ se convierte en: $$IX - BA + X = CD \implies X + X = CD + BA \implies 2X = CD + BA.$$ Por tanto, la matriz $X$ será: $$X = \frac{1}{2}(CD + BA)$$

Calculamos el producto de las matrices $B$ ($3 \times 3$) y $A$ ($3 \times 3$): $$BA = \begin{pmatrix} -2 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\ -1 & 2 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & -1 & 0 \end{pmatrix}$$ Operamos: $$BA = \begin{pmatrix} (-2)(-1) & (-1)(-1) & 2(-1) \\ 1(-1) & 1(-1) & 0 \\ (-1)(-1) & (-2)(-1) & 2(-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 1 & -2 \\ -1 & -1 & 0 \\ 1 & 2 & -2 \end{pmatrix}.$$ 💡 **Tip:** Al multiplicar por una matriz con muchos ceros como $A$, fíjate en cómo permuta o cambia de signo las columnas de $B$.

La matriz $C$ es de dimensión $3 \times 1$ y la matriz $D$ es de dimensión $1 \times 3$. El producto $CD$ será una matriz de dimensión $3 \times 3$: $$CD = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 4 & -5 & 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \cdot 4 & 1 \cdot (-5) & 1 \cdot 6 \\ -2 \cdot 4 & -2 \cdot (-5) & -2 \cdot 6 \\ 3 \cdot 4 & 3 \cdot (-5) & 3 \cdot 6 \end{pmatrix}$$ $$CD = \begin{pmatrix} 4 & -5 & 6 \\ -8 & 10 & -12 \\ 12 & -15 & 18 \end{pmatrix}$$

Calculamos primero la suma $S = CD + BA$: $$S = \begin{pmatrix} 4 & -5 & 6 \\ -8 & 10 & -12 \\ 12 & -15 & 18 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 & 1 & -2 \\ -1 & -1 & 0 \\ 1 & 2 & -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & -4 & 4 \\ -9 & 9 & -12 \\ 13 & -13 & 16 \end{pmatrix}.$$ Finalmente, despejamos $X$ dividiendo cada elemento entre 2: $$X = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 6 & -4 & 4 \\ -9 & 9 & -12 \\ 13 & -13 & 16 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & -2 & 2 \\ -9/2 & 9/2 & -6 \\ 13/2 & -13/2 & 8 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} 3 & -2 & 2 \\ -4.5 & 4.5 & -6 \\ 6.5 & -6.5 & 8 \end{pmatrix}}$$