Estudio y área de una función logarítmica

**a) [0,75 puntos] Haz un esbozo de la gráfica de $f$ calculando sus puntos de corte con los ejes coordenados.** Para calcular los puntos de corte, analizamos la función $f(x) = \ln(2x+e)$ en su dominio $D = (-\frac{e}{2}, +\infty)$: 1. **Corte con el eje $Y$ (eje de ordenadas):** Hacemos $x = 0$. $$f(0) = \ln(2(0) + e) = \ln(e) = 1.$$ El punto de corte es **$(0, 1)$**. 2. **Corte con el eje $X$ (eje de abscisas):** Hacemos $f(x) = 0$. $$\ln(2x+e) = 0 \implies 2x+e = e^0 \implies 2x+e = 1.$$ Despejamos $x$: $$2x = 1 - e \implies x = \frac{1-e}{2}.$$ Como $e \approx 2,718$, entonces $x \approx \frac{1 - 2,718}{2} \approx -0,859$. Este valor está dentro del dominio, ya que $-\frac{e}{2} \approx -1,359$. El punto de corte es **$\left(\frac{1-e}{2}, 0\right)$**. 💡 **Tip:** Recuerda que $\ln(A) = 0$ si y solo si $A = 1$.

Para completar el esbozo, observamos que la función es un logaritmo con coeficiente de $x$ positivo, por lo que es estrictamente creciente. - **Asíntota vertical:** En el extremo izquierdo del dominio ($x \to -e/2^+$): $$\lim_{x\to -e/2^+} \ln(2x+e) = \ln(0^+) = -\infty.$$ Existe una **asíntota vertical en $x = -\frac{e}{2}$**. - **Crecimiento:** La derivada $f'(x) = \frac{2}{2x+e}$ es siempre positiva en el dominio, lo que confirma que la función siempre crece. Visualizamos la gráfica con los puntos de corte obtenidos:

**b) [1,75 puntos] Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de $f$ y los ejes de coordenadas.** El recinto está delimitado por: 1. La curva $y = \ln(2x+e)$. 2. El eje $X$ ($y=0$) entre $x = \frac{1-e}{2}$ y $x = 0$. 3. El eje $Y$ ($x=0$). Como en el intervalo $\left[\frac{1-e}{2}, 0\right]$ la función es positiva (está por encima del eje $X$), el área viene dada por la integral definida: $$A = \int_{\frac{1-e}{2}}^{0} \ln(2x+e) \, dx$$ 💡 **Tip:** El área entre una función y el eje $X$ se calcula como $\int_a^b |f(x)| \, dx$. En este caso, al ser la función positiva, no necesitamos el valor absoluto.

Calculamos primero la integral indefinida $\int \ln(2x+e) \, dx$ mediante un cambio de variable o integración por partes. Usaremos el cambio de variable para simplificar el logaritmo: Sea $t = 2x+e$, entonces $dt = 2 \, dx \implies dx = \frac{dt}{2}$. $$\int \ln(2x+e) \, dx = \int \ln(t) \cdot \frac{dt}{2} = \frac{1}{2} \int \ln(t) \, dt$$ Resolvemos $\int \ln(t) \, dt$ por partes (usando $u = \ln t, dv = dt \implies du = \frac{1}{t}dt, v = t$): $$\int \ln(t) \, dt = t \ln t - \int t \cdot \frac{1}{t} \, dt = t \ln t - \int 1 \, dt = t \ln t - t$$ Deshaciendo el cambio: $$\int \ln(2x+e) \, dx = \frac{1}{2} \left[ (2x+e) \ln(2x+e) - (2x+e) \right] + C$$ 💡 **Tip:** Recuerda la integral inmediata $\int \ln(x)dx = x\ln(x) - x$.

Aplicamos la Regla de Barrow a la primitiva obtenida $G(x) = \frac{1}{2} [ (2x+e) \ln(2x+e) - (2x+e) ]$: $$A = G(0) - G\left(\frac{1-e}{2}\right)$$ 1. Para $x = 0$: $$G(0) = \frac{1}{2} [ (0+e) \ln(0+e) - (0+e) ] = \frac{1}{2} [ e \cdot 1 - e ] = \frac{1}{2} [ 0 ] = 0.$$ 2. Para $x = \frac{1-e}{2}$: $$2\left(\frac{1-e}{2}\right) + e = 1-e+e = 1.$$ $$G\left(\frac{1-e}{2}\right) = \frac{1}{2} [ 1 \cdot \ln(1) - 1 ] = \frac{1}{2} [ 0 - 1 ] = -\frac{1}{2}.$$ Finalmente: $$A = 0 - \left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2} \text{ unidades}^2.$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Área} = \frac{1}{2} \text{ u}^2}$$