Derivabilidad y asíntotas de una función a trozos

**a) [1 punto] Estudia la derivabilidad de $f$ en $x = 0$ y en $x = 1$.** Antes de estudiar la derivabilidad, debemos comprobar si la función es continua en dichos puntos, ya que si no es continua, no podrá ser derivable. **Continuidad en $x = 0$:** 1. $f(0) = -0 \cdot e^{0-1} = 0$ 2. $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0} -x \, e^{x-1} = 0$ 3. $\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0} x \, e^{x-1} = 0$ Como $f(0) = \lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = 0$, la función es **continua en $x = 0$**. **Continuidad en $x = 1$:** 1. $f(1) = 1 \cdot e^{1-1} = 1 \cdot e^0 = 1$ 2. $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1} x \, e^{x-1} = 1 \cdot e^0 = 1$ 3. $\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1} x \, e^{1-x} = 1 \cdot e^0 = 1$ Como $f(1) = \lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x) = 1$, la función es **continua en $x = 1$**. 💡 **Tip:** Recuerda que la continuidad es una condición necesaria pero no suficiente para la derivabilidad.

Calculamos la derivada de cada rama de la función utilizando la regla del producto $(u \cdot v)' = u'v + uv'$: - Para $x \lt 0$: $f'(x) = -1 \cdot e^{x-1} + (-x) \cdot e^{x-1} = -e^{x-1}(1 + x)$ - Para $0 \lt x \lt 1$: $f'(x) = 1 \cdot e^{x-1} + x \cdot e^{x-1} = e^{x-1}(1 + x)$ - Para $x \gt 1$: $f'(x) = 1 \cdot e^{1-x} + x \cdot e^{1-x} \cdot (-1) = e^{1-x}(1 - x)$ La función derivada queda definida como: $$f'(x) = \begin{cases} -e^{x-1}(1+x) & \text{si} & x < 0 \\ e^{x-1}(1+x) & \text{si} & 0 < x < 1 \\ e^{1-x}(1-x) & \text{si} & x > 1 \end{cases}$$

Estudiamos las derivadas laterales en $x = 0$: - Derivada por la izquierda: $$f'(0^-) = \lim_{x \to 0^-} -e^{x-1}(1+x) = -e^{-1}(1+0) = -\frac{1}{e}$$ - Derivada por la derecha: $$f'(0^+) = \lim_{x \to 0^+} e^{x-1}(1+x) = e^{-1}(1+0) = \frac{1}{e}$$ Como $f'(0^-) \neq f'(0^+)$, la función **no es derivable en $x = 0$**. Geométricamente, hay un punto anguloso en $x = 0$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{No derivable en } x = 0}$$

Estudiamos las derivadas laterales en $x = 1$: - Derivada por la izquierda: $$f'(1^-) = \lim_{x \to 1^-} e^{x-1}(1+x) = e^{1-1}(1+1) = 1 \cdot 2 = 2$$ - Derivada por la derecha: $$f'(1^+) = \lim_{x \to 1^+} e^{1-x}(1-x) = e^{1-1}(1-1) = 1 \cdot 0 = 0$$ Como $f'(1^-) \neq f'(1^+)$, la función **no es derivable en $x = 1$**. Geométricamente, hay otro punto anguloso en $x = 1$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{No derivable en } x = 1}$$

**b) [1,5 puntos] Estudia la existencia de asíntotas horizontales de la gráfica de $f$.** Calculamos el límite de la función cuando $x \to -\infty$ utilizando la primera rama: $$\lim_{x \to -\infty} -x e^{x-1} = \lim_{x \to -\infty} \frac{-x}{e^{1-x}}$$ Al ser una indeterminación del tipo $\frac{\infty}{\infty}$, aplicamos la **regla de L'Hôpital**: $$\lim_{x \to -\infty} \frac{-x}{e^{1-x}} \stackrel{H}{=} \lim_{x \to -\infty} \frac{-1}{-e^{1-x}} = \lim_{x \to -\infty} \frac{1}{e^{1-x}} = \frac{1}{\infty} = 0$$ Por tanto, existe una asíntota horizontal **$y = 0$** cuando $x \to -\infty$. 💡 **Tip:** Recuerda que $y = L$ es asíntota horizontal si $\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = L$.

Calculamos el límite de la función cuando $x \to +\infty$ utilizando la tercera rama: $$\lim_{x \to +\infty} x e^{1-x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x}{e^{x-1}}$$ Nuevamente, tenemos una indeterminación $\frac{\infty}{\infty}$, aplicamos la **regla de L'Hôpital**: $$\lim_{x \to +\infty} \frac{x}{e^{x-1}} \stackrel{H}{=} \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{e^{x-1}} = \frac{1}{\infty} = 0$$ Por tanto, existe una asíntota horizontal **$y = 0$** cuando $x \to +\infty$. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Existe una asíntota horizontal en } y = 0 \text{ tanto en } -\infty \text{ como en } +\infty}$$ Podemos visualizar el comportamiento de la función en la siguiente gráfica: