Geometría en el espacio: Rectas, planos, simetría y volúmenes

**a) [1 punto] Determina la recta perpendicular a $\pi$ que pasa por el origen de coordenadas.** Para determinar una recta $r$ necesitamos un punto $P$ y un vector director $\vec{v}_r$. 1. El enunciado indica que la recta pasa por el origen de coordenadas: $O(0, 0, 0)$. 2. Como la recta debe ser perpendicular al plano $\pi: x + 2y + z = 6$, el vector director de la recta coincidirá con el vector normal del plano $\vec{n}_\pi$. Extraemos el vector normal de los coeficientes de la ecuación del plano: $$\vec{n}_\pi = (1, 2, 1)$$ Por tanto, el vector director de nuestra recta es $\vec{v}_r = (1, 2, 1)$. La ecuación paramétrica de la recta $r$ es: $$r: \begin{cases} x = 0 + 1t \\ y = 0 + 2t \\ z = 0 + 1t \end{cases} \implies \begin{cases} x = t \\ y = 2t \\ z = t \end{cases}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que si una recta es perpendicular a un plano, el vector normal del plano sirve como vector director de la recta. ✅ **Resultado:** $$\boxed{r: \begin{cases} x = t \\ y = 2t \\ z = t \end{cases}}$$

**b) [0,5 puntos] Halla el punto simétrico del origen de coordenadas con respecto a $\pi$.** Para hallar el simétrico del punto $O(0,0,0)$ respecto al plano $\pi$, calcularemos primero la proyección ortogonal de $O$ sobre el plano, que llamaremos punto $M$. Este punto $M$ es la intersección de la recta $r$ (calculada en el apartado anterior) con el plano $\pi$. Sustituimos las ecuaciones de la recta $r$ en la ecuación del plano $\pi$: $$(t) + 2(2t) + (t) = 6$$ $$t + 4t + t = 6 \implies 6t = 6 \implies t = 1$$ Sustituimos el valor de $t=1$ en la recta para obtener las coordenadas de $M$: $$x = 1, \quad y = 2(1) = 2, \quad z = 1 \implies M(1, 2, 1)$$ 💡 **Tip:** El punto de intersección entre una recta perpendicular y el plano se denomina pie de la perpendicular o proyección ortogonal.

El punto $M(1, 2, 1)$ es el punto medio del segmento que une el origen $O(0, 0, 0)$ y su simétrico $O'(x', y', z')$. Aplicamos la fórmula del punto medio: $$M = \frac{O + O'}{2} \implies (1, 2, 1) = \left( \frac{0+x'}{2}, \frac{0+y'}{2}, \frac{0+z'}{2} \right)$$ Igualamos componente a componente: 1. $1 = \frac{x'}{2} \implies x' = 2$ 2. $2 = \frac{y'}{2} \implies y' = 4$ 3. $1 = \frac{z'}{2} \implies z' = 2$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{O'(2, 4, 2)}$$

**c) [1 punto] Calcula el volumen del tetraedro determinado por el origen de coordenadas y los puntos de corte de $\pi$ con los ejes de coordenadas.** Buscamos los puntos de intersección del plano $\pi: x + 2y + z = 6$ con los ejes: - **Eje OX** ($y=0, z=0$): $x + 2(0) + 0 = 6 \implies x = 6$. Punto $A(6, 0, 0)$. - **Eje OY** ($x=0, z=0$): $0 + 2y + 0 = 6 \implies 2y = 6 \implies y = 3$. Punto $B(0, 3, 0)$. - **Eje OZ** ($x=0, y=0$): $0 + 2(0) + z = 6 \implies z = 6$. Punto $C(0, 0, 6)$. Tenemos los cuatro vértices del tetraedro: $O(0,0,0)$, $A(6,0,0)$, $B(0,3,0)$ y $C(0,0,6)$.

El volumen $V$ de un tetraedro con un vértice en el origen y otros tres vértices en $A, B, C$ se calcula mediante el valor absoluto del producto mixto de los vectores $\vec{OA}$, $\vec{OB}$ y $\vec{OC}$, dividido por $6$: $$V = \frac{1}{6} \left| [\vec{OA}, \vec{OB}, \vec{OC}] \right|$$ Los vectores son: $$\vec{OA} = (6, 0, 0), \quad \vec{OB} = (0, 3, 0), \quad \vec{OC} = (0, 0, 6)$$ Calculamos el determinante: $$|\text{det}| = \left| \begin{vmatrix} 6 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 6 \end{vmatrix} \right| = |6 \cdot 3 \cdot 6| = |108| = 108$$ Finalmente, el volumen es: $$V = \frac{108}{6} = 18 \text{ u}^3$$ 💡 **Tip:** El volumen de un tetraedro es la sexta parte del volumen del paralelepípedo definido por los mismos vectores. ✅ **Resultado:** $$\boxed{V = 18 \text{ u}^3}$$