Discusión de sistemas y rango con parámetros

**a) [1,25 puntos] Discute el rango de $A$ según los valores del parámetro $\lambda$.** El rango de una matriz es el orden del mayor menor no nulo. Empezamos calculando el determinante de la matriz $A$ para ver qué valores de $\lambda$ hacen que el rango sea máximo (rango 3). $$|A| = \begin{vmatrix} 2 & -1 & \lambda \\ 2 & -\lambda & 1 \\ 2\lambda & -1 & 1 \end{vmatrix}$$ Aplicamos la regla de Sarrus: $$|A| = [2(-\lambda)(1) + (-1)(1)(2\lambda) + (\lambda)(2)(-1)] - [(\lambda)(-\lambda)(2\lambda) + (2)(1)(-1) + (2)(-1)(1)]$$ $$|A| = [-2\lambda - 2\lambda - 2\lambda] - [-2\lambda^3 - 2 - 2]$$ $$|A| = -6\lambda + 2\lambda^3 + 4 = 2\lambda^3 - 6\lambda + 4$$ 💡 **Tip:** Recuerda que si el determinante de una matriz $3 \times 3$ es distinto de cero, su rango es 3.

Para estudiar el rango, igualamos el determinante a cero: $$2\lambda^3 - 6\lambda + 4 = 0 \implies \lambda^3 - 3\lambda + 2 = 0$$ Probamos con divisores del término independiente (±1, ±2) para usar la regla de Ruffini. Para $\lambda = 1$: $$1^3 - 3(1) + 2 = 1 - 3 + 2 = 0$$ Realizamos la división por Ruffini: $$\begin{array}{r|rrrr} & 1 & 0 & -3 & 2 \\ 1 & & 1 & 1 & -2 \\ \hline & 1 & 1 & -2 & 0 \end{array}$$ La ecuación queda $(\lambda - 1)(\lambda^2 + \lambda - 2) = 0$. Resolvemos la ecuación de segundo grado: $$\lambda = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(1)(-2)}}{2(1)} = \frac{-1 \pm 3}{2} \implies \lambda_1 = 1, \lambda_2 = -2$$ Los valores críticos son **$\lambda = 1$ (doble)** y **$\lambda = -2$**.

Analizamos el rango según los valores obtenidos: - **Caso 1: $\lambda \neq 1$ y $\lambda \neq -2$** Si $\lambda$ es distinto de $1$ y $-2$, el determinante $|A| \neq 0$. Por tanto, el rango de $A$ es máximo: $$\boxed{\text{rg}(A) = 3}$$ - **Caso 2: $\lambda = 1$** La matriz es $A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 1 \\ 2 & -1 & 1 \\ 2 & -1 & 1 \end{pmatrix}$. Observamos que las tres filas son idénticas. Por tanto, solo hay una fila linealmente independiente. $$\boxed{\text{rg}(A) = 1}$$ - **Caso 3: $\lambda = -2$** La matriz es $A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & -2 \\ 2 & 2 & 1 \\ -4 & -1 & 1 \end{pmatrix}$. Sabemos que $|A|=0$, por lo que $\text{rg}(A) \lt 3$. Buscamos un menor de orden 2 distinto de cero: $$\begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 2 & 2 \end{vmatrix} = 4 - (-2) = 6 \neq 0$$ $$\boxed{\text{rg}(A) = 2}$$

**b) [1,25 puntos] Para $\lambda = -2$, estudia y resuelve el sistema dado por $AX = B$.** Sustituimos $\lambda = -2$ en el sistema: $$\begin{pmatrix} 2 & -1 & -2 \\ 2 & 2 & 1 \\ -4 & -1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$$ Ya sabemos por el apartado anterior que $\text{rg}(A) = 2$. Estudiamos el rango de la matriz ampliada $A^*$: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 2 & -1 & -2 & -1 \\ 2 & 2 & 1 & 1 \\ -4 & -1 & 1 & 0 \end{array}\right)$$ Tomamos el menor formado por las columnas 1, 2 y 4: $$\begin{vmatrix} 2 & -1 & -1 \\ 2 & 2 & 1 \\ -4 & -1 & 0 \end{vmatrix} = (0 + 4 + 2) - (8 - 2 + 0) = 6 - 6 = 0$$ Como todos los menores de orden 3 son nulos (ya que la suma de las tres filas es cero: $F_1 + F_2 + F_3 = 0$ también en la columna de términos independientes), tenemos que $\text{rg}(A^*) = 2$. 💡 **Tip:** Siempre comprueba si existe una combinación lineal evidente entre filas para ahorrar cálculos.

Aplicamos el **Teorema de Rouché-Frobenius**: - $\text{rg}(A) = 2$ - $\text{rg}(A^*) = 2$ - Número de incógnitas $n = 3$ Como $\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) \lt n$, el sistema es **Compatible Indeterminado (S.C.I.)**, es decir, tiene infinitas soluciones. $$\boxed{\text{Sistema Compatible Indeterminado}}$$

Para resolverlo, utilizamos las dos primeras ecuaciones (que son linealmente independientes) y pasamos una variable al otro lado como parámetro. Sea $z = \alpha$: $$\begin{cases} 2x - y = -1 + 2\alpha \\ 2x + 2y = 1 - \alpha \end{cases}$$ Restamos la segunda menos la primera: $$(2x + 2y) - (2x - y) = (1 - \alpha) - (-1 + 2\alpha)$$ $$3y = 2 - 3\alpha \implies y = \frac{2}{3} - \alpha$$ Sustituimos $y$ en la primera ecuación para hallar $x$: $$2x = -1 + 2\alpha + y = -1 + 2\alpha + \left(\frac{2}{3} - \alpha\right)$$ $$2x = -\frac{1}{3} + \alpha \implies x = -\frac{1}{6} + \frac{\alpha}{2}$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\begin{cases} x = -\frac{1}{6} + \frac{\alpha}{2} \\ y = \frac{2}{3} - \alpha \\ z = \alpha \end{cases} \quad \text{con } \alpha \in \mathbb{R}}$$