Recta tangente y cálculo de áreas con exponenciales

**a) [0,75 puntos] Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de $f$ en el punto de abscisa $x = 2$.** Para hallar la ecuación de la recta tangente en $x = a$, utilizamos la fórmula: $$y - f(a) = f'(a)(x - a)$$ 1. **Calculamos la ordenada del punto** evaluando la función en $x = 2$: $$f(2) = e^{2-2} = e^0 = 1$$ El punto de tangencia es **$(2, 1)$**. 2. **Calculamos la derivada de la función** para obtener la pendiente: La función es $f(x) = e^{2-x}$. Aplicamos la regla de la cadena: $$f'(x) = e^{2-x} \cdot (2-x)' = e^{2-x} \cdot (-1) = -e^{2-x}$$ 3. **Hallamos la pendiente $m$** en $x = 2$: $$m = f'(2) = -e^{2-2} = -e^0 = -1$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la derivada de $e^{u(x)}$ es $u'(x)e^{u(x)}$. No olvides el signo negativo al derivar el exponente $(2-x)$.

Sustituimos el punto $(2, 1)$ y la pendiente $m = -1$ en la ecuación punto-pendiente: $$y - 1 = -1(x - 2)$$ $$y - 1 = -x + 2$$ $$y = -x + 3$$ La recta tangente es una recta decreciente que corta al eje de ordenadas en $(0,3)$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{y = -x + 3}$$

**b) [0,5 puntos] Esboza el recinto limitado por la gráfica de $f$, el eje de ordenadas y la recta $x + y = 3$.** Analizamos los elementos que limitan el recinto: - La curva $f(x) = e^{2-x}$: Es una función exponencial decreciente. En $x=0$, $f(0) = e^2 \approx 7,39$. En $x=2$, $f(2) = 1$. - La recta $x + y = 3$, que escrita de forma explícita es $y = -x + 3$. Es exactamente la **recta tangente** calculada en el apartado anterior. Pasa por $(0,3)$ y $(2,1)$. - El eje de ordenadas es la recta vertical **$x = 0$**. Como la función $f(x) = e^{2-x}$ es convexa ($f''(x) = e^{2-x} \gt 0$), la gráfica de la función siempre queda por encima de cualquier recta tangente. Por tanto, en el intervalo $[0, 2]$, la curva está por encima de la recta. 💡 **Tip:** Identificar que la recta dada es la tangente simplifica mucho el dibujo, ya que sabemos que se tocan en el punto $(2,1)$ y no se vuelven a cruzar.

**c) [1,25 puntos] Calcula el área del recinto indicado.** El área viene dada por la integral definida entre los límites de abscisas $x=0$ (eje de ordenadas) y $x=2$ (punto de tangencia/intersección). En este intervalo, la función $f(x) = e^{2-x}$ está por encima de la recta $y = 3 - x$, por lo que el área es: $$A = \int_{0}^{2} [f(x) - (3 - x)] \, dx$$ $$A = \int_{0}^{2} (e^{2-x} - 3 + x) \, dx$$ 💡 **Tip:** El área entre dos curvas se calcula como la integral de la función "techo" menos la función "suelo".

Buscamos una primitiva $F(x)$: $$\int (e^{2-x} + x - 3) \, dx = -e^{2-x} + \frac{x^2}{2} - 3x$$ Aplicamos la **Regla de Barrow** en el intervalo $[0, 2]$: $$A = \left[ -e^{2-x} + \frac{x^2}{2} - 3x \right]_{0}^{2}$$ Calculamos el valor en el límite superior ($x=2$): $$F(2) = -e^{2-2} + \frac{2^2}{2} - 3(2) = -e^0 + 2 - 6 = -1 + 2 - 6 = -5$$ Calculamos el valor en el límite inferior ($x=0$): $$F(0) = -e^{2-0} + \frac{0^2}{2} - 3(0) = -e^2$$ Restamos ambos valores: $$A = F(2) - F(0) = -5 - (-e^2) = e^2 - 5$$ Como $e^2 \approx 7,389$, el área es aproximadamente $7,389 - 5 = 2,389$ unidades cuadradas. ✅ **Resultado:** $$\boxed{A = e^2 - 5 \text{ u}^2}$$