Optimización del área de un rectángulo entre dos rectas

**a) [0,25 puntos] Halla la altura del rectángulo en función de $a$ (ver la figura).** Sea el primer vértice del rectángulo situado sobre la recta $y = x$. Si el valor $a$ representa la abscisa (coordenada $x$) de dicho vértice, dado que el punto pertenece a la recta $y = x$, su ordenada debe ser igual a su abscisa. Por tanto, las coordenadas del primer vértice son $P_1(a, a)$. Como la base del rectángulo está sobre el eje $OX$ ($y = 0$), la altura $h$ es simplemente la coordenada $y$ de los vértices superiores: $$h = a$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{h = a}$$

**b) [1 punto] Halla la base del rectángulo en función de $a$.** El segundo vértice superior del rectángulo está situado sobre la recta $y = 4 - x$. Como el lado superior del rectángulo es horizontal, este vértice debe tener la misma altura que el primero, es decir, su ordenada es $y = a$. Sustituimos $y = a$ en la ecuación de la recta para hallar su coordenada $x$: $$a = 4 - x \implies x = 4 - a$$ Las coordenadas del segundo vértice son $P_2(4 - a, a)$. La base del rectángulo es la diferencia entre las abscisas de los dos vértices superiores (extremo derecho menos extremo izquierdo): $$\text{Base} = (4 - a) - a = 4 - 2a$$ 💡 **Tip:** Para que la base sea positiva, se debe cumplir que $4 - 2a \gt 0$, lo que implica $a \lt 2$. Dado que el rectángulo está en el primer cuadrante, el dominio de la variable es $a \in (0, 2)$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{b = 4 - 2a}$$

**c) [1,25 puntos] Encuentra el valor de $a$ que hace máximo el área del rectángulo.** El área $A$ del rectángulo es el producto de su base por su altura: $$A(a) = \text{base} \cdot \text{altura} = (4 - 2a) \cdot a = 4a - 2a^2$$ Para maximizar esta función, calculamos su derivada con respecto a $a$ e igualamos a cero: $$A'(a) = 4 - 4a$$ $$4 - 4a = 0 \implies 4a = 4 \implies a = 1$$ 💡 **Tip:** Un extremo relativo ocurre donde la derivada es nula. Luego debemos verificar si es un máximo o un mínimo.

Para comprobar que $a = 1$ es un máximo, utilizamos el criterio de la segunda derivada: $$A''(a) = -4$$ Como $A''(1) = -4 \lt 0$, confirmamos que existe un **máximo relativo** en $a = 1$. También podemos observar el cambio de signo de la primera derivada en torno al punto crítico: $$ \begin{array}{c|ccc} a & (0,1) & 1 & (1,2)\\ \hline A'(a) = 4(1-a) & + & 0 & - \end{array} $$ Como la función crece a la izquierda de $1$ y decrece a la derecha, el área máxima se alcanza efectivamente para $a = 1$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{a = 1}$$