Punto simétrico y distancia punto-plano

**a) [1,75 puntos] Calcula el punto simétrico de $P$ respecto de $\pi$.** Para hallar el punto simétrico $P'$ de un punto $P$ respecto a un plano $\pi$, el primer paso es obtener la recta $r$ que pasa por $P$ y es perpendicular a $\pi$. El vector normal del plano $\pi: 3x + 2y + z = 5$ es: $$\vec{n_\pi} = (3, 2, 1)$$ Como la recta $r$ es perpendicular al plano, su vector director $\vec{d_r}$ será el mismo que el vector normal del plano: $$\vec{d_r} = \vec{n_\pi} = (3, 2, 1)$$ Usando el punto $P(2, -1, 3)$, escribimos la ecuación de la recta $r$ en forma paramétrica: $$r: \begin{cases} x = 2 + 3\lambda \\ y = -1 + 2\lambda \\ z = 3 + \lambda \end{cases}$$ 💡 **Tip:** El vector normal de un plano $Ax + By + Cz + D = 0$ viene dado por los coeficientes $(A, B, C)$.

El punto $M$ es la proyección ortogonal de $P$ sobre el plano $\pi$, es decir, la intersección de la recta $r$ con el plano $\pi$. Para hallarlo, sustituimos las expresiones de la recta en la ecuación del plano: $$3(2 + 3\lambda) + 2(-1 + 2\lambda) + (3 + \lambda) = 5$$ Operamos para despejar $\lambda$: $$6 + 9\lambda - 2 + 4\lambda + 3 + \lambda = 5$$ $$14\lambda + 7 = 5$$ $$14\lambda = -2 \implies \lambda = -\frac{2}{14} = -\frac{1}{7}$$ Sustituimos el valor de $\lambda = -1/7$ en las ecuaciones de la recta $r$ para obtener las coordenadas de $M$: $$x_M = 2 + 3\left(-\frac{1}{7}\right) = \frac{14 - 3}{7} = \frac{11}{7}$$ $$y_M = -1 + 2\left(-\frac{1}{7}\right) = \frac{-7 - 2}{7} = -\frac{9}{7}$$ $$z_M = 3 + \left(-\frac{1}{7}\right) = \frac{21 - 1}{7} = \frac{20}{7}$$ Por tanto, el punto de intersección es: $$M\left(\frac{11}{7}, -\frac{9}{7}, \frac{20}{7}\right)$$

El punto $M$ es el punto medio del segmento que une $P$ con su simétrico $P'(x', y', z')$. La fórmula del punto medio es: $$M = \frac{P + P'}{2} \implies P' = 2M - P$$ Calculamos componente a componente: $$x' = 2\left(\frac{11}{7}\right) - 2 = \frac{22}{7} - \frac{14}{7} = \frac{8}{7}$$ $$y' = 2\left(-\frac{9}{7}\right) - (-1) = -\frac{18}{7} + \frac{7}{7} = -\frac{11}{7}$$ $$z' = 2\left(\frac{20}{7}\right) - 3 = \frac{40}{7} - \frac{21}{7} = \frac{19}{7}$$ 💡 **Tip:** El simétrico $P'$ siempre cumple que el vector $\vec{PM}$ es igual al vector $\vec{MP'}$. ✅ **Resultado (punto simétrico):** $$\boxed{P'\left(\frac{8}{7}, -\frac{11}{7}, \frac{19}{7}\right)}$$

**b) [0,75 puntos] Calcula la distancia de $P$ a $\pi$.** Utilizamos la fórmula de la distancia de un punto $P(x_0, y_0, z_0)$ a un plano $Ax + By + Cz + D = 0$: $$d(P, \pi) = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$$ Sustituimos las coordenadas de $P(2, -1, 3)$ y los coeficientes de $\pi: 3x + 2y + z - 5 = 0$: $$d(P, \pi) = \frac{|3(2) + 2(-1) + 1(3) - 5|}{\sqrt{3^2 + 2^2 + 1^2}}$$ $$d(P, \pi) = \frac{|6 - 2 + 3 - 5|}{\sqrt{9 + 4 + 1}} = \frac{|2|}{\sqrt{14}} = \frac{2}{\sqrt{14}}$$ Racionalizando el resultado: $$d(P, \pi) = \frac{2\sqrt{14}}{14} = \frac{\sqrt{14}}{7} \text{ unidades}$$ 💡 **Tip:** La distancia de $P$ a $\pi$ también se podría haber calculado como el módulo del vector $\vec{PM}$. ✅ **Resultado (distancia):** $$\boxed{d(P, \pi) = \frac{\sqrt{14}}{7} \approx 0,5345 \text{ u}}$$