Sistema de ecuaciones lineales: Problema de monedas

**a) [1,5 puntos] Justifica que es posible hacer un pago de $34,50$ euros cumpliendo las siguientes restricciones: utilizando únicamente monedas de $50$ céntimos de euro, de $1$ euro y de $2$ euros; se tienen que utilizar exactamente un total de $30$ monedas; tiene que haber igual número de monedas de $1$ euro como de $50$ céntimos y $2$ euros juntas.** En primer lugar, definimos las variables que representan el número de monedas de cada tipo: - $x$: número de monedas de $0,50$ € - $y$: número de monedas de $1$ € - $z$: número de monedas de $2$ € Traducimos las condiciones del enunciado a ecuaciones lineales: 1. El total del pago es $34,50$ €: $0,50x + 1y + 2z = 34,5$ 2. Se usan exactamente $30$ monedas: $x + y + z = 30$ 3. Igual número de monedas de $1$ € que de las otras dos juntas: $y = x + z$ 💡 **Tip:** Al plantear problemas de monedas, asegúrate de que todas las unidades de valor estén en la misma moneda (en este caso, todo en euros).

Para resolver el sistema, podemos utilizar la tercera ecuación, $y = x + z$, y sustituirla en las otras dos. Sustituyendo $y$ en la segunda ecuación ($x + y + z = 30$): $$x + (x + z) + z = 30 \implies 2x + 2z = 30 \implies x + z = 15$$ Como sabemos que $y = x + z$, obtenemos inmediatamente el valor de $y$: $$\boxed{y = 15}$$ Ahora, sustituimos $y = 15$ y $x = 15 - z$ en la primera ecuación ($0,5x + y + 2z = 34,5$): $$0,5(15 - z) + 15 + 2z = 34,5$$ $$7,5 - 0,5z + 15 + 2z = 34,5$$ $$22,5 + 1,5z = 34,5$$ $$1,5z = 34,5 - 22,5 \implies 1,5z = 12$$ $$z = \frac{12}{1,5} = \frac{120}{15} = 8$$ Calculamos $x$: $$x = 15 - z = 15 - 8 = 7$$ 💡 **Tip:** Siempre verifica que los resultados sean coherentes con el contexto (números enteros positivos).

Hemos obtenido una única solución válida: - Monedas de $0,50$ €: **7** - Monedas de $1$ €: **15** - Monedas de $2$ €: **8** Comprobamos las condiciones: - Pago: $7 \cdot 0,5 + 15 \cdot 1 + 8 \cdot 2 = 3,5 + 15 + 16 = 34,5$ € (Correcto). - Total monedas: $7 + 15 + 8 = 30$ (Correcto). - Relación: $15 = 7 + 8$ (Correcto). ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Solo hay una manera posible: 7 monedas de 0,50 €, 15 de 1 € y 8 de 2 €}}$$

**b) [1 punto] Si se redondea la cantidad a pagar a $35$ euros, justifica si es posible o no seguir haciendo el pago bajo las mismas condiciones que en el apartado anterior.** El sistema de ecuaciones para este nuevo caso sería: 1. $0,5x + y + 2z = 35$ 2. $x + y + z = 30$ 3. $y = x + z$ Al igual que antes, de las ecuaciones (2) y (3) se deduce necesariamente que: $$y = 15 \quad \text{y} \quad x + z = 15$$ Sustituimos estos valores en la nueva ecuación de valor (1): $$0,5x + 15 + 2z = 35$$ $$0,5x + 2z = 20$$ Sustituimos $x = 15 - z$ en esta última expresión: $$0,5(15 - z) + 2z = 20$$ $$7,5 - 0,5z + 2z = 20$$ $$1,5z = 12,5$$

Despejamos $z$ para comprobar si obtenemos un número entero: $$z = \frac{12,5}{1,5} = \frac{125}{15} = \frac{25}{3} \approx 8,333...$$ Dado que $z$ representa el número de monedas, debe ser un **número entero no negativo** ($z \in \mathbb{N}$). Al obtener una fracción, concluimos que no existe una combinación de monedas que satisfaga todas las restricciones simultáneamente para un pago de $35$ €. 💡 **Tip:** En problemas de optimización o sistemas lineales aplicados a objetos indivisibles, la solución debe pertenecer al conjunto de los números naturales. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{No es posible, ya que el número de monedas } z \text{ no resulta ser un número entero.}}$$