Recta tangente común a dos parábolas y cálculo de áreas

**a) [1 punto] Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de $f$ en el punto de abscisa $x = 1$ y comprueba que también es tangente a la gráfica de $g$. Determina el punto de tangencia con la gráfica de $g$.** Para hallar la recta tangente a $f(x) = 3 - x^2$ en $x=1$, calculamos el punto y la pendiente: 1. **Punto de tangencia:** $f(1) = 3 - (1)^2 = 2$. El punto es $(1, 2)$. 2. **Pendiente:** Derivamos la función, $f'(x) = -2x$. Por tanto, $m = f'(1) = -2(1) = -2$. Usamos la fórmula de la recta tangente $y - f(a) = f'(a)(x - a)$: $$y - 2 = -2(x - 1) \implies y = -2x + 2 + 2 \implies y = -2x + 4$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la pendiente de la recta tangente en un punto coincide con el valor de la derivada en la abscisa de dicho punto. ✅ **Resultado de la recta tangente:** $$\boxed{y = -2x + 4}$$

Para comprobar si $y = -2x + 4$ es tangente a $g(x) = -\frac{x^2}{4}$, buscamos un punto donde la derivada de $g$ sea igual a la pendiente de la recta ($m = -2$): $$g'(x) = -\frac{2x}{4} = -\frac{x}{2}$$ Igualamos la derivada a la pendiente: $$-\frac{x}{2} = -2 \implies x = 4$$ Ahora comprobamos si en $x=4$ la función $g(x)$ y la recta tienen el mismo valor (punto de contacto): - Valor de la función: $g(4) = -\frac{4^2}{4} = -\frac{16}{4} = -4$ - Valor de la recta: $y = -2(4) + 4 = -8 + 4 = -4$ Como coinciden tanto la pendiente como el valor en $x=4$, la recta es tangente a $g(x)$. ✅ **Punto de tangencia con g:** $$\boxed{(4, -4)}$$

**b) [0,75 puntos] Esboza el recinto limitado por la recta $y = 4 - 2x$ y las gráficas de $f$ y $g$. Calcula todos los puntos de corte entre las gráficas (y la recta).** Calculamos los puntos de intersección entre las tres funciones: 1. **Corte $f(x)$ y la recta ($r$):** Ya sabemos por el apartado anterior que son tangentes en $x=1$, pero lo comprobamos: $3 - x^2 = 4 - 2x \implies x^2 - 2x + 1 = 0 \implies (x-1)^2 = 0 \implies x=1$. Punto **$(1, 2)$**. 2. **Corte $g(x)$ y la recta ($r$):** También son tangentes en $x=4$. $-\frac{x^2}{4} = 4 - 2x \implies -x^2 = 16 - 8x \implies x^2 - 8x + 16 = 0 \implies (x-4)^2 = 0 \implies x=4$. Punto **$(4, -4)$**. 3. **Corte $f(x)$ y $g(x)$:** $$3 - x^2 = -\frac{x^2}{4} \implies 12 - 4x^2 = -x^2 \implies 12 = 3x^2 \implies x^2 = 4 \implies x = \pm 2$$ Como buscamos el recinto limitado por la recta, nos interesa el punto **$x=2$** (donde $y = 3 - 2^2 = -1$). El punto es **$(2, -1)$**. "interactive": { "kind": "desmos", "data": { "expressions": [ { "id": "f", "latex": "f(x) = 3 - x^2", "color": "#2563eb" }, { "id": "g", "latex": "g(x) = -x^2/4", "color": "#16a34a" }, { "id": "r", "latex": "y = 4 - 2x", "color": "#ef4444" }, { "id": "reg", "latex": "1 \\le x \\le 2: f(x) \\le y \\le 4-2x, 2 \\le x \\le 4: g(x) \\le y \\le 4-2x", "color": "#93c5fd" } ], "bounds": { "left": -1, "right": 6, "bottom": -6, "top": 5 } } } ✅ **Puntos de corte:** $$\boxed{(1, 2), (4, -4), (2, -1)}$$

**c) [0,75 puntos] Calcula el área del recinto descrito en el apartado anterior.** El recinto está limitado por arriba por la recta $y = 4 - 2x$ y por abajo por las funciones $f(x)$ y $g(x)$. Debemos dividir la integral en dos partes en el punto de corte $x=2$: $$A = \int_{1}^{2} [ (4 - 2x) - (3 - x^2) ] dx + \int_{2}^{4} [ (4 - 2x) - (-\frac{x^2}{4}) ] dx$$ **Primera integral:** $$I_1 = \int_{1}^{2} (x^2 - 2x + 1) dx = \left[ \frac{x^3}{3} - x^2 + x \right]_{1}^{2}$$ $$I_1 = \left( \frac{8}{3} - 4 + 2 \right) - \left( \frac{1}{3} - 1 + 1 \right) = \frac{2}{3} - \frac{1}{3} = \frac{1}{3}$$ **Segunda integral:** $$I_2 = \int_{2}^{4} (\frac{x^2}{4} - 2x + 4) dx = \left[ \frac{x^3}{12} - x^2 + 4x \right]_{2}^{4}$$ $$I_2 = \left( \frac{64}{12} - 16 + 16 \right) - \left( \frac{8}{12} - 4 + 8 \right) = \frac{16}{3} - ( \frac{2}{3} + 4 ) = \frac{16}{3} - \frac{14}{3} = \frac{2}{3}$$ **Área total:** $$A = I_1 + I_2 = \frac{1}{3} + \frac{2}{3} = 1 \text{ u}^2$$ 💡 **Tip:** En el cálculo de áreas, la integral siempre es (Función Superior - Función Inferior). ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Área} = 1 \text{ unidades cuadradas}}$$