Derivabilidad de una función a trozos con parámetros

Para que una función sea derivable en un punto, es condición necesaria que sea **continua** en dicho punto. Analizamos el comportamiento de la función en el valor crítico $x = 1$, que es donde se produce el salto entre ramas. Para que $f$ sea continua en $x = 1$ se debe cumplir: $$\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x) = f(1)$$ Calculamos los límites laterales: - Límite por la izquierda ($x \le 1$): $$\lim_{x \to 1^-} (3 - kx^2) = 3 - k(1)^2 = 3 - k$$ - Límite por la derecha ($x > 1$): $$\lim_{x \to 1^+} \frac{2}{kx} = \frac{2}{k(1)} = \frac{2}{k}$$ Igualamos ambas expresiones para garantizar la continuidad: $$3 - k = \frac{2}{k}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que si una función no es continua en un punto, automáticamente no puede ser derivable en él.

Resolvemos la ecuación resultante para hallar los valores de $k$ que hacen que la función sea continua: $$3 - k = \frac{2}{k} \implies k(3 - k) = 2 \implies 3k - k^2 = 2$$ Reordenamos los términos para obtener una ecuación de segundo grado: $$k^2 - 3k + 2 = 0$$ Aplicamos la fórmula cuadrática: $$k = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1} = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2} = \frac{3 \pm 1}{2}$$ Obtenemos dos posibles valores para $k$: - $k_1 = \frac{3 + 1}{2} = 2$ - $k_2 = \frac{3 - 1}{2} = 1$ Por tanto, la función es continua si **$k = 1$** o **$k = 2$**.

Una vez garantizada la continuidad, para que $f$ sea derivable en $x = 1$, las derivadas laterales deben coincidir. Calculamos primero la función derivada para $x \neq 1$: $$f'(x) = \begin{cases} -2kx & \text{si } x < 1 \\ -\frac{2}{kx^2} & \text{si } x > 1 \end{cases}$$ *Nota sobre la derivada de la segunda rama:* Si $g(x) = \frac{2}{kx} = \frac{2}{k} x^{-1}$, entonces $g'(x) = \frac{2}{k} (-1) x^{-2} = -\frac{2}{kx^2}$. Calculamos los límites de la derivada en $x = 1$: - Derivada por la izquierda: $$f'(1^-) = \lim_{x \to 1^-} (-2kx) = -2k(1) = -2k$$ - Derivada por la derecha: $$f'(1^+) = \lim_{x \to 1^+} -\frac{2}{kx^2} = -\frac{2}{k(1)^2} = -\frac{2}{k}$$ Igualamos las derivadas laterales: $$-2k = -\frac{2}{k} \implies k^2 = 1 \implies k = \pm 1$$ 💡 **Tip:** La derivada de una constante por una función es la constante por la derivada de la función: $[c \cdot u(x)]' = c \cdot u'(x)$.

Para que la función sea derivable, debe ser continua y sus derivadas laterales deben coincidir simultáneamente. Recopilamos las condiciones obtenidas: 1. Para ser **continua**: $k \in \{1, 2\}$. 2. Para ser **derivable** (suponiendo continuidad): $k \in \{1, -1\}$. El único valor que satisface ambas condiciones es $k = 1$. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{k = 1}$$ (Nótese que para $k=1$, la función es $f(x) = 3-x^2$ si $x \le 1$ y $f(x) = 2/x$ si $x > 1$. Ambas valen $f(1)=2$ y sus derivadas valen $f'(1)=-2$).