Simetría respecto a una recta y equidistancia

**a) [1,25 puntos] Determina el punto simétrico de $P$ respecto de $r$.** Primero, obtenemos un punto $P_r$ y el vector director $\vec{v}_r$ de la recta $r$ a partir de su ecuación continua: $$x - 5 = y = \frac{z + 2}{-2} \implies \frac{x - 5}{1} = \frac{y - 0}{1} = \frac{z - (-2)}{-2}$$ De aquí extraemos: - Punto de la recta: $P_r(5, 0, -2)$ - Vector director: $\vec{v}_r = (1, 1, -2)$ Para hallar el simétrico de $P$ respecto a $r$, seguiremos estos pasos: 1. Hallar un plano $\pi$ perpendicular a $r$ que pase por $P$. 2. Calcular el punto de intersección $M$ entre la recta $r$ y el plano $\pi$. Este punto $M$ será la proyección ortogonal de $P$ sobre $r$ (el punto medio). 3. Usar la fórmula del punto medio para hallar el simétrico $P'$. 💡 **Tip:** El vector director de la recta $\vec{v}_r$ será el vector normal del plano perpendicular $\vec{n}_\pi$.

El plano $\pi$ tiene como vector normal $\vec{n}_\pi = \vec{v}_r = (1, 1, -2)$. La ecuación general del plano es de la forma: $$1 \cdot x + 1 \cdot y - 2 \cdot z + D = 0$$ Como el plano debe pasar por $P(1, 0, -1)$, sustituimos sus coordenadas para hallar $D$: $$1(1) + 1(0) - 2(-1) + D = 0 \implies 1 + 0 + 2 + D = 0 \implies D = -3$$ La ecuación del plano $\pi$ es: $$\pi: x + y - 2z - 3 = 0$$

Para hallar la intersección $M = r \cap \pi$, expresamos la recta $r$ en ecuaciones paramétricas: $$r: \begin{cases} x = 5 + \lambda \\ y = \lambda \\ z = -2 - 2\lambda \end{cases}$$ Sustituimos estas expresiones en la ecuación del plano $\pi$: $$(5 + \lambda) + (\lambda) - 2(-2 - 2\lambda) - 3 = 0$$ $$5 + \lambda + \lambda + 4 + 4\lambda - 3 = 0$$ $$6\lambda + 6 = 0 \implies \lambda = -1$$ Ahora, sustituimos $\lambda = -1$ en las paramétricas de $r$ para obtener las coordenadas de $M$: $$x_M = 5 + (-1) = 4$$ $$y_M = -1$$ $$z_M = -2 - 2(-1) = 0$$ El punto de corte es **$M(4, -1, 0)$**.

El punto $M$ es el punto medio del segmento que une $P$ con su simétrico $P'(x', y', z')$. Por tanto: $$M = \frac{P + P'}{2} \implies P' = 2M - P$$ Calculamos las coordenadas de $P'$: $$P' = 2(4, -1, 0) - (1, 0, -1) = (8, -2, 0) - (1, 0, -1) = (7, -2, 1)$$ ✅ **Resultado (punto simétrico):** $$\boxed{P'(7, -2, 1)}$$

**b) [1,25 puntos] Calcula el punto de $r$ que equidista de $P$ y $Q$.** Sea $R$ un punto genérico de la recta $r$. Usando las ecuaciones paramétricas halladas anteriormente, cualquier punto de $r$ tiene la forma: $$R(5 + \lambda, \lambda, -2 - 2\lambda)$$ Queremos que la distancia de $R$ a $P$ sea igual a la distancia de $R$ a $Q$: $$d(R, P) = d(R, Q) \implies [d(R, P)]^2 = [d(R, Q)]^2$$ Recordamos que $P(1, 0, -1)$ y $Q(2, 1, 1)$. 💡 **Tip:** Trabajamos con el cuadrado de la distancia para evitar las raíces cuadradas en la resolución de la ecuación.

Calculamos $[d(R, P)]^2$: $$[d(R, P)]^2 = (5 + \lambda - 1)^2 + (\lambda - 0)^2 + (-2 - 2\lambda - (-1))^2$$ $$= (4 + \lambda)^2 + \lambda^2 + (-1 - 2\lambda)^2$$ $$= (16 + 8\lambda + \lambda^2) + \lambda^2 + (1 + 4\lambda + 4\lambda^2)$$ $$= 6\lambda^2 + 12\lambda + 17$$ Calculamos $[d(R, Q)]^2$: $$[d(R, Q)]^2 = (5 + \lambda - 2)^2 + (\lambda - 1)^2 + (-2 - 2\lambda - 1)^2$$ $$= (3 + \lambda)^2 + (\lambda - 1)^2 + (-3 - 2\lambda)^2$$ $$= (9 + 6\lambda + \lambda^2) + (\lambda^2 - 2\lambda + 1) + (9 + 12\lambda + 4\lambda^2)$$ $$= 6\lambda^2 + 16\lambda + 19$$

Igualamos ambas expresiones: $$6\lambda^2 + 12\lambda + 17 = 6\lambda^2 + 16\lambda + 19$$ Las $6\lambda^2$ se cancelan: $$12\lambda + 17 = 16\lambda + 19$$ $$-2 = 4\lambda \implies \lambda = -\frac{2}{4} = -\frac{1}{2}$$ Ahora, sustituimos el valor de $\lambda = -0,5$ en las coordenadas de $R$: $$x_R = 5 - 0,5 = 4,5 = \frac{9}{2}$$ $$y_R = -0,5 = -\frac{1}{2}$$ $$z_R = -2 - 2(-0,5) = -2 + 1 = -1$$ ✅ **Resultado (punto equidistante):** $$\boxed{R\left(\frac{9}{2}, -\frac{1}{2}, -1\right)}$$