Discusión y resolución de un sistema con parámetros

**a) [1,75 puntos] Discútelo según los valores del parámetro $m$.** Comenzamos escribiendo la matriz de coeficientes $A$ y la matriz ampliada $A^*$ asociadas al sistema: $$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & m+3 \\ 1 & 1 & 1 \\ 2 & 4 & 3m+3 \end{pmatrix}; \quad A^* = \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & m+3 & 3 \\ 1 & 1 & 1 & 3m \\ 2 & 4 & 3m+3 & 8 \end{array} \right)$$ Para discutir el sistema, calculamos el determinante de la matriz $A$ aplicando propiedades de los determinantes para simplificar el cálculo: $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & 2 & m+3 \\ 1 & 1 & 1 \\ 2 & 4 & 3m+3 \end{vmatrix}$$ Realizamos la operación elemental entre filas $F_3 \to F_3 - 2F_1$ para obtener ceros en la última fila: $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & 2 & m+3 \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & (3m+3) - 2(m+3) \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & 2 & m+3 \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & m-3 \end{vmatrix}$$ Desarrollamos por la tercera fila: $$|A| = (m-3) \cdot (-1)^{3+3} \cdot \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = (m-3) \cdot (1 - 2) = -(m-3) = 3 - m$$ Igualamos a cero para encontrar los valores críticos: $$3 - m = 0 \implies m = 3$$ 💡 **Tip:** El uso de operaciones elementales en determinantes facilita mucho el cálculo cuando el parámetro aparece en varias posiciones.

Analizamos el rango de las matrices según el valor de $m$ utilizando el **Teorema de Rouché-Frobenius**: **Caso 1: $m \neq 3$** Si $m \neq 3$, el determinante $|A| \neq 0$. Por lo tanto: - $\text{rango}(A) = 3$ - $\text{rango}(A^*) = 3$ (ya que no puede ser mayor que el número de filas ni menor que $\text{rango}(A)$) - Número de incógnitas = 3 $$\text{rango}(A) = \text{rango}(A^*) = 3 \implies \mathbf{\text{Sistema Compatible Determinado (Solución única)}}$$ **Caso 2: $m = 3$** Si $m = 3$, el determinante $|A| = 0$, por lo que $\text{rango}(A) < 3$. La matriz es: $$A^* = \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 6 & 3 \\ 1 & 1 & 1 & 9 \\ 2 & 4 & 12 & 8 \end{array} \right)$$ En $A$, el menor $\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = -1 \neq 0$, por lo que $\text{rango}(A) = 2$. Calculamos el rango de $A^*$ comprobando un menor de orden 3 que incluya la columna de términos independientes: $$\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & 9 \\ 2 & 4 & 8 \end{vmatrix} = (8 + 36 + 12) - (6 + 36 + 16) = 56 - 58 = -2 \neq 0$$ Como existe un menor de orden 3 no nulo en $A^*$, $\text{rango}(A^*) = 3$. $$\text{rango}(A) = 2 \neq \text{rango}(A^*) = 3 \implies \mathbf{\text{Sistema Incompatible (Sin solución)}}$$ ✅ **Resultado (Discusión):** $$\boxed{\begin{cases} m \neq 3: \text{Sistema Compatible Determinado} \\ m = 3: \text{Sistema Incompatible} \end{cases}}$$

**b) [0,75 puntos] Resuelve el sistema para $m = -2$.** Para $m = -2$, sabemos que el sistema es **Compatible Determinado**. Sustituimos el valor en el sistema original: $$ \left\{ \begin{array}{ccccccc} x & + & 2y & + & z & = & 3 \\ x & + & y & + & z & = & -6 \\ 2x & + & 4y & - & 3z & = & 8 \end{array} \right. $$ Resolvemos por el método de Gauss escribiendo la matriz ampliada: $$\left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 1 & 3 \\ 1 & 1 & 1 & -6 \\ 2 & 4 & -3 & 8 \end{array} \right)$$ Realizamos operaciones para hacer ceros bajo la diagonal: - $F_2 \to F_2 - F_1$: $(1-1, 1-2, 1-1, -6-3) \to (0, -1, 0, -9)$ - $F_3 \to F_3 - 2F_1$: $(2-2, 4-4, -3-2, 8-6) \to (0, 0, -5, 2)$ Obtenemos el sistema equivalente: $$ \left\{ \begin{array}{rcl} x + 2y + z & = & 3 \\ -y & = & -9 \\ -5z & = & 2 \end{array} \right. $$ Calculamos las incógnitas: 1. De la segunda ecuación: **$y = 9$**. 2. De la tercera ecuación: **$z = -\dfrac{2}{5} = -0.4$**. 3. Sustituimos en la primera: $$x + 2(9) + (-0.4) = 3 \implies x + 18 - 0.4 = 3 \implies x + 17.6 = 3$$ $$x = 3 - 17.6 = -14.6 = -\frac{73}{5}$$ 💡 **Tip:** En sistemas de este nivel, es común obtener soluciones fraccionarias. Comprobar los resultados sustituyendo en una de las ecuaciones originales es una buena práctica. ✅ **Resultado (Solución para m = -2):** $$\boxed{x = -\dfrac{73}{5}, \quad y = 9, \quad z = -\dfrac{2}{5}}$$