Área entre parábola y función con valor absoluto

**a) [1,25 puntos] Esboza el recinto limitado por las gráficas de $f$ y $g$ y calcula los puntos de corte de dichas gráficas.** Primero, definimos la función $g(x) = |x^2 - 2x|$ como una función a trozos. Para ello, estudiamos el signo del polinomio interior $x^2 - 2x = x(x - 2)$. - Sus raíces son $x=0$ y $x=2$. - Es positivo en $(-\infty, 0] \cup [2, +\infty)$ y negativo en $(0, 2)$. Por tanto: $$g(x)=\begin{cases} x^2 - 2x & \text{si } x \le 0,\\ -(x^2 - 2x) = 2x - x^2 & \text{si } 0 < x < 2,\\ x^2 - 2x & \text{si } x \ge 2. \end{cases}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $|h(x)|$ se define como $h(x)$ si $h(x) \ge 0$ y como $-h(x)$ si $h(x) < 0$.

Para hallar los puntos de corte, resolvemos $f(x) = g(x)$ analizando los intervalos de $g(x)$: 1. **Si $x \in (0, 2)$**: $$6x - x^2 = 2x - x^2 \implies 4x = 0 \implies x = 0$$ Este punto está en el borde del intervalo. 2. **Si $x \le 0$ o $x \ge 2$**: $$6x - x^2 = x^2 - 2x \implies 2x^2 - 8x = 0 \implies 2x(x - 4) = 0$$ Esto nos da las soluciones $x = 0$ y $x = 4$. Calculamos las ordenadas: - Para $x = 0$: $f(0) = 0 \implies P_1(0, 0)$. - Para $x = 4$: $f(4) = 6(4) - (4)^2 = 24 - 16 = 8 \implies P_2(4, 8)$. ✅ **Puntos de corte:** $$\boxed{(0, 0) \text{ y } (4, 8)}$$

Para esbozar el recinto, representamos: - $f(x) = 6x - x^2$: Parábola cóncava (hacia abajo) con raíces en $x=0$ y $x=6$, y vértice en $(3, 9)$. - $g(x) = |x^2 - 2x|$: Función valor absoluto que rebota en el eje $X$ en $x=0$ y $x=2$. El recinto está comprendido entre $x=0$ y $x=4$. En todo este intervalo, comprobando un punto intermedio (por ejemplo $x=1$, $f(1)=5$ y $g(1)=1$), observamos que $f(x) \ge g(x)$.

**b) [1,25 puntos] Calcula el área del recinto limitado por las gráficas de $f$ y $g$.** El área $A$ viene dada por la integral definida de la diferencia de las funciones en el intervalo $[0, 4]$. Debido a la definición a trozos de $g(x)$, debemos dividir la integral en el punto $x=2$: $$A = \int_0^4 (f(x) - g(x)) \, dx = \int_0^2 (f(x) - g(x)) \, dx + \int_2^4 (f(x) - g(x)) \, dx$$ Sustituimos las expresiones correspondientes: - En $(0, 2)$, $g(x) = 2x - x^2$. - En $(2, 4)$, $g(x) = x^2 - 2x$. $$A = \int_0^2 [6x - x^2 - (2x - x^2)] \, dx + \int_2^4 [6x - x^2 - (x^2 - 2x)] \, dx$$ Simplificamos: $$A = \int_0^2 4x \, dx + \int_2^4 (-2x^2 + 8x) \, dx$$

Calculamos la primera parte del área aplicando la regla de Barrow: $$\int_0^2 4x \, dx = \left[ 2x^2 \right]_0^2$$ Evaluamos en los límites: $$2(2)^2 - 2(0)^2 = 8 - 0 = 8.$$ 💡 **Tip:** La regla de Barrow establece que $\int_a^b h(x)dx = H(b) - H(a)$, donde $H(x)$ es una primitiva de $h(x)$.

Calculamos la segunda parte del área: $$\int_2^4 (-2x^2 + 8x) \, dx = \left[ -\frac{2x^3}{3} + 4x^2 \right]_2^4$$ Evaluamos en $x=4$: $$F(4) = -\frac{2(4)^3}{3} + 4(4)^2 = -\frac{128}{3} + 64 = \frac{-128 + 192}{3} = \frac{64}{3}$$ Evaluamos en $x=2$: $$F(2) = -\frac{2(2)^3}{3} + 4(2)^2 = -\frac{16}{3} + 16 = \frac{-16 + 48}{3} = \frac{32}{3}$$ Restamos los valores: $$\frac{64}{3} - \frac{32}{3} = \frac{32}{3}$$ ✅ **Valor de la segunda integral:** $$\int_2^4 (-2x^2 + 8x) \, dx = \frac{32}{3}$$

Sumamos las dos áreas parciales obtenidas: $$A = 8 + \frac{32}{3} = \frac{24 + 32}{3} = \frac{56}{3} \text{ u}^2$$ ✅ **Resultado (área del recinto):** $$\boxed{\text{Área} = \frac{56}{3} \text{ u}^2 \approx 18,67 \text{ u}^2}$$