Cálculo de parámetros en una función cúbica

Para resolver este problema, debemos traducir las condiciones del enunciado en ecuaciones matemáticas. La función es $f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$. Las condiciones dadas son: 1. **La gráfica pasa por el punto $(1, 1)$:** Esto significa que $f(1) = 1$. 2. **En $x = 1$ hay un punto de derivada nula:** Esto significa que $f'(1) = 0$. 3. **El punto en $x = 1$ no es un extremo relativo:** Para una función polinómica, si la derivada es cero en un punto pero no es un máximo ni un mínimo, dicho punto debe ser un **punto de inflexión de tangente horizontal**. Esto implica que la segunda derivada en ese punto también debe ser cero, es decir, $f''(1) = 0$. Calculamos las derivadas de la función: $$f'(x) = 3x^2 + 2ax + b$$ $$f''(x) = 6x + 2a$$ 💡 **Tip:** Un punto donde $f'(x)=0$ se llama punto crítico. Si no es extremo relativo (máximo o mínimo), en funciones suaves como los polinomios, se trata de un punto de inflexión.

Aplicamos las condiciones anteriores para obtener un sistema de ecuaciones: **1) Condición de paso por el punto $(1, 1)$:** $$f(1) = 1^3 + a(1)^2 + b(1) + c = 1 \implies 1 + a + b + c = 1$$ Simplificando: $$a + b + c = 0 \quad \text{(Ecuación 1)}$$ **2) Condición de derivada nula en $x = 1$:** $$f'(1) = 3(1)^2 + 2a(1) + b = 0 \implies 3 + 2a + b = 0$$ Simplificando: $$2a + b = -3 \quad \text{(Ecuación 2)}$$ **3) Condición de no ser extremo relativo:** Como $f'(1)=0$ y no es extremo, entonces $x=1$ es un punto de inflexión: $$f''(1) = 6(1) + 2a = 0 \implies 6 + 2a = 0$$ Simplificando: $$2a = -6 \implies a = -3 \quad \text{(Ecuación 3)}$$

Ya tenemos el valor de $a$ de la Ecuación 3: $$\boxed{a = -3}$$ Sustituimos $a = -3$ en la **Ecuación 2** ($2a + b = -3$): $$2(-3) + b = -3$$ $$-6 + b = -3 \implies b = -3 + 6$$ $$\boxed{b = 3}$$ Finalmente, sustituimos $a = -3$ y $b = 3$ en la **Ecuación 1** ($a + b + c = 0$): $$-3 + 3 + c = 0$$ $$0 + c = 0$$ $$\boxed{c = 0}$$ 💡 **Tip:** Siempre es recomendable volver a sustituir los valores en las ecuaciones originales para verificar que no ha habido errores de cálculo.

Comprobamos si con estos coeficientes $x=1$ realmente no es un extremo relativo. La función es $f(x) = x^3 - 3x^2 + 3x$. Su derivada es: $$f'(x) = 3x^2 - 6x + 3 = 3(x^2 - 2x + 1) = 3(x - 1)^2$$ Estudiamos el signo de $f'(x)$ alrededor de $x=1$: $$\begin{array}{c|ccc} x & (-\infty, 1) & 1 & (1, +\infty)\\ \hline (x-1)^2 & + & 0 & +\\ \hline f'(x) & + & 0 & + \end{array}$$ Como la derivada $f'(x)$ es positiva tanto a la izquierda como a la derecha de $x=1$, la función es siempre creciente. Por tanto, en $x=1$ hay una **tangente horizontal** pero la función no cambia de crecimiento (no hay extremo), confirmando que es un punto de inflexión. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{a = -3, \quad b = 3, \quad c = 0}$$