Estudio de función racional: monotonía, asíntotas y área

**a) Los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la función $f$, (2 puntos) y los extremos relativos de la función $f$. (1 punto)** Para estudiar la monotonía y los extremos relativos, primero calculamos la derivada de la función $f(x) = \frac{x^2+1}{x}$. Aplicamos la regla del cociente: $$f'(x) = \frac{(x^2+1)' \cdot x - (x^2+1) \cdot (x)'}{x^2}$$ $$f'(x) = \frac{2x \cdot x - (x^2+1) \cdot 1}{x^2} = \frac{2x^2 - x^2 - 1}{x^2} = \frac{x^2 - 1}{x^2}$$ Buscamos los puntos críticos igualando la derivada a cero: $$f'(x) = 0 \implies x^2 - 1 = 0 \implies x^2 = 1 \implies x = \pm 1$$ 💡 **Tip:** Recuerda que los puntos donde la función no existe (en este caso $x=0$) también deben tenerse en cuenta al dividir la recta real para estudiar el signo de la derivada. $$\boxed{f'(x) = \frac{x^2 - 1}{x^2}, \quad \text{Puntos críticos: } x = -1, x = 1}$$

Estudiamos el signo de $f'(x)$ en los intervalos definidos por los puntos críticos y el punto de discontinuidad ($x=0$). Como el denominador $x^2$ siempre es positivo para $x \neq 0$, el signo de $f'(x)$ depende solo del numerador $x^2 - 1$. $$\begin{array}{c|ccccccc} x & (-\infty,-1) & -1 & (-1,0) & 0 & (0,1) & 1 & (1,+\infty)\\\hline f'(x) & + & 0 & - & \nexists & - & 0 & +\\\hline f(x) & \nearrow & \text{Máx} & \searrow & \nexists & \searrow & \text{Mín} & \nearrow \end{array}$$ Analizando la tabla: - La función es **creciente** en $(-\infty, -1) \cup (1, +\infty)$. - La función es **decreciente** en $(-1, 0) \cup (0, 1)$. ✅ **Resultado (Monotonía):** $$\boxed{\text{Crecimiento: } (-\infty, -1) \cup (1, +\infty); \quad \text{Decrecimiento: } (-1, 0) \cup (0, 1)}$$

A partir del estudio de la monotonía: 1. En $x = -1$ la función pasa de crecer a decrecer, por lo que hay un **máximo relativo**. Su ordenada es: $f(-1) = \frac{(-1)^2 + 1}{-1} = \frac{2}{-1} = -2$. 2. En $x = 1$ la función pasa de decrecer a crecer, por lo que hay un **mínimo relativo**. Su ordenada es: $f(1) = \frac{1^2 + 1}{1} = \frac{2}{1} = 2$. ✅ **Resultado (Extremos):** $$\boxed{\text{Máximo relativo en } (-1, -2) \quad \text{y Mínimo relativo en } (1, 2)}$$

**b) Las asíntotas de la curva $y = f(x)$. (3 puntos)** **Asíntotas Verticales (AV):** Se encuentran en los puntos donde el denominador se anula pero el numerador no. En $x=0$: $$\lim_{x \to 0} \frac{x^2+1}{x} = \frac{1}{0} = \infty$$ Por tanto, la recta **$x = 0$** es una asíntota vertical. **Asíntotas Horizontales (AH):** Calculamos el límite al infinito: $$\lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^2+1}{x} = \pm\infty$$ Al ser el grado del numerador mayor que el del denominador, **no existen asíntotas horizontales**. 💡 **Tip:** Si el grado del numerador es exactamente una unidad mayor que el grado del denominador, existe una asíntota oblicua. $$\boxed{\text{AV: } x=0, \quad \text{AH: No existen}}$$

Buscamos una recta de la forma $y = mx + n$. Calculamos la pendiente $m$: $$m = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^2+1}{x^2} = 1$$ Calculamos la ordenada en el origen $n$: $$n = \lim_{x \to \pm\infty} (f(x) - mx) = \lim_{x \to \pm\infty} \left( \frac{x^2+1}{x} - x \right) = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^2+1-x^2}{x} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{1}{x} = 0$$ Por tanto, la recta **$y = x$** es la asíntota oblicua. ✅ **Resultado (Asíntotas):** $$\boxed{\text{AV: } x=0, \quad \text{AO: } y=x}$$

**c) El área de la región plana limitada por la curva $y = \frac{x^2+1}{x}$, $1 \leq x \leq e$, el segmento que une los puntos $(1, 0)$ y $(e, 0)$, y las rectas $x = 1$ y $x = e$. (4 puntos)** La región está delimitada superiormente por $f(x)$ e inferiormente por el eje $X$ ($y=0$). En el intervalo $[1, e]$, la función $f(x) = \frac{x^2+1}{x}$ es siempre positiva (ya que $x^2+1 \gt 0$ y $x \in [1, e] \gt 0$). El área viene dada por la integral definida: $$A = \int_{1}^{e} \frac{x^2+1}{x} \, dx$$ Para integrar, descomponemos la fracción: $$f(x) = \frac{x^2}{x} + \frac{1}{x} = x + \frac{1}{x}$$ 💡 **Tip:** Siempre que el denominador sea un monomio, es más sencillo separar la fracción antes de integrar que buscar métodos complejos. $$\boxed{A = \int_{1}^{e} \left( x + \frac{1}{x} \right) \, dx}$$

Calculamos la primitiva y aplicamos la Regla de Barrow: $$A = \left[ \frac{x^2}{2} + \ln|x| \right]_{1}^{e}$$ $$A = \left( \frac{e^2}{2} + \ln e \right) - \left( \frac{1^2}{2} + \ln 1 \right)$$ Como $\ln e = 1$ y $\ln 1 = 0$: $$A = \left( \frac{e^2}{2} + 1 \right) - \left( \frac{1}{2} + 0 \right) = \frac{e^2}{2} + 1 - \frac{1}{2} = \frac{e^2}{2} + \frac{1}{2}$$ Operando: $$A = \frac{e^2+1}{2} \approx 4,194 \text{ unidades de área}$$ ✅ **Resultado final (Área):** $$\boxed{A = \dfrac{e^2+1}{2} \text{ u}^2}$$ "interactive": { "kind": "desmos", "data": { "expressions": [ { "id": "f", "latex": "f(x)=\\frac{x^2+1}{x}", "color": "#2563eb" }, { "id": "va", "latex": "x=1", "color": "#ef4444", "lineStyle": "DASHED" }, { "id": "vb", "latex": "x=e", "color": "#ef4444", "lineStyle": "DASHED" }, { "id": "area", "latex": "0 \\le y \\le f(x) \\{1 \\le x \\le e\\}", "color": "#93c5fd" } ], "bounds": { "left": -0.5, "right": 4, "bottom": -1, "top": 5 } } }